应力张量PPT演示课件

金属塑性成型原理,机电工程学院王忠雷,第三章金属塑性变形的力学基础,第一节应力分析,第二讲应力张量,张量的概念,主应力,应力椭球体,主应力简图,应力分解,张量的概念,1、物理量的表示,3阶张量,33,三个方向面都有张量,2阶张量,32,三个方向面都有矢量,张量,1阶张量,31,大小、方向,矢量,0阶张量,30,大小没方向,标量,分量,性质,名称,张量的概念,2、张量的概念,标量：一个数，当坐标变换时，(xi)=(xi)，即不依赖于坐标，则定义为标量零阶张量。,矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai=Miiai,由a1,a2,a3变为a1,a2,a3，则此三个分量定义为矢量一阶张量。,张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式Tij=MiiMjjTij,由Tij变为Tij，则此九个分量定义为二阶张量简称为张量。,张量的概念,3、张量的性质,（1）张量的分量一定可以组成某些函数f(Tij),这些函数的值不随坐标而变。即,（2）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。,（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=-T，则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和一个反对称张量之和。,（4）2阶对称张量存在三个主轴和三个主值；张量角标不同的分量都为零时的坐标轴方向为主轴，三个角标相同的分量为值。,张量的概念,4、应力张量,应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称为应力张量。一点的应力状态可以借用矩阵以张量ij表示：,二阶对称张量,主应力,1、主应力的概念,表示同一点Q的应力状态可以任选坐标轴，但其9个分量相应改变，若选一特殊方向，使坐标面=0。此平面一定存在，这是应力张量的特性。,主平面切应力为零的微分面,主应力主平面上的正应力,主方向主平面的法线方向（主应力方向）,主应力,1、主应力的求解,旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC正好是主平面(=0),则斜面上全应力S就是正应力(=S)。,S在三轴上的投影,以l,m,n为未知数的齐次线性方程组。其解有二。,主应力,l=m=n=0,不满足l2+m2+n2=1的条件，此平面不存在。齐次线性方程级有非零解的充要条件是：系数行列式=0,即,主应力,应力状态特征方程,解得三个根即主应力1，2和3,解得三个根即主方向l、m、n。,主应力,主应力,主应力,3、应力不变量,对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即J1,J2,J3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。所以J1,J2,J3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。,主应力,4、主轴坐标系统,以主方向为坐标轴的坐标系统：,应力椭球体,1、应力椭球体,椭球面方程，其主半轴的长度分别为1，2，3。称应力椭球面。它是任意斜面全应力矢量S端点的轨迹。,应力椭球体,2、应力状态的分类,a）若1230三向应力状态。,b）若120,3=0二向应力状态。,d）若12=3圆柱应力状态（包括单向应力状态）。1的方向均为主方向。,e）若1=2=3球应力（静水应力）状态。0,各方向均为主方向。,c）若10;2=3=0单向应力状态。,主应力简图,受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负号，并不表明所作用应力的大小。,应力张量的分解,平均应力:,m为不变量,与坐标无关。三个正应力分量可写成：,应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。,应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力及主轴