线性代数总复习很全!（课堂PPT）

要求：会用其性质与展开定理，,计算低阶及特殊的行列式。,一、行列式,两个重要概念：,余子式,代数余子式,1,上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积,性质,是计算行列式的中心环节，,利用性质将行列式化为三角形行列式，,然后计算是计算行列式的重要方法。,2,展开定理及其应用,利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低,一阶行列式的计算。,3,特殊关系式,4,例题,解,计算下列行列式,5,6,解方程,此为范德蒙行列式,例题,7,二、矩阵,不能推出,(1),(3),(2),或,不能推出,交换律不成立,消去律不成立,转置矩阵的运算律,一、矩阵运算中注意的几点,8,特殊矩阵：,若,若,阶梯阵A与行最简阶梯阵B,若,A为n阶对称矩阵,A为n阶反对称矩阵,9,n阶方阵A可逆的充要条件,n阶方阵A可逆,可逆矩阵,10,可逆矩阵的性质,设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则,5、求方阵A的逆矩阵的方法,11,特别：,12,矩阵的初等变换,初等方阵,（列）变换得到的矩阵，,矩阵A的标准型,13,1、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。,2、秩的基本关系式：,3、关于秩的重要结论：,矩阵的秩,14,重要结论,定理,15,秩的求法：,1)R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。,2）初等变换法：,R（A）=T的阶梯数,3）若P可逆，则,常需先验证P可逆,16,选择题1,设A、B都是n阶方阵，则,e,17,选择题2,（4）,18,（2）,19,选择题4,（3）,20,解,例,21,例：设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，,关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E,分析,原式可写为,（重点）,22,例：设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中,由已知，得AXB-XB=C，,则得,显然A-E、B均可逆，并且,解,（重点）,23,例,24,R(A)=2,初等变换,例,（重点）,25,例,解,26,三向量组的线性关系,定义,定义极大无关组、等价,等价定义,（重点）,27,结论:,2、,。,3、,1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系,注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；,秩（A）=列向量组的秩=行向量组的秩,28,定理,29,定理,30,判别法1,判别法2,等价的向量组的秩相等；,部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关,31,判别法3,32,例题,DF,33,例题,BC,34,设,解,例,重点,35,(续),其余向量由此极大无关组表示为：,所以,36,向量4-例题4,解1),因为行列式,所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；,否则线性无关。,37,证明,证明,38,证明,分析：只要证明：B的列秩=m;,证明,39,40,例设向量组,问k为何值时,表示法唯一，,不唯一，,不可表示。,解设,即,用克莱姆法则,41,k=-3时,表示法唯一，,时,同解方程组,有无穷多解。,时,方程组有唯一解,表示法不唯一，,42,线性方程组,解的存在性定理,各种解法,解的结构,四、线性方程组的解法与解的结构,定理1设有非齐次线性方程组,43,定理1设有齐次线性方程组（2）,方程组-2-通解、基础解系,44,方程组-2-通解、基础解系,定理2设有非齐次线性方程组（1）,45,讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、,解,系数行列式,所以1):,2):,有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。,（重点）,例,46,例题3（续）,由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.,2):,则通解为,47,定理,中两两正交、非零向量组,线性无关。,称,为规范正交基。,定义3,五、内积、施密特正交化。,48,定义4,是n阶方阵,若,性质2,的列(行)向量组为正交单位向量组,是正交矩阵,性质1,是正交矩阵则A可逆且,设,性质3,设A、B都是正交矩阵，,则AB也是正交矩阵。,即A的n个列向量是单位正交向量组。,性质4,设A是正交矩阵，则,也是正交矩阵。,性质5,设A是正交矩阵，则,49,3、施密特正交化方法,为线性无关向量组,令,正交化过程：,则,是正交向量组，,单位化,50,六、特征值与特征向量、矩阵的对角化,内容：,矩阵的特征值与特征向量的定义,求法,性质；,相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法,定义1,使方程,设方阵,成立,数,和n元非零列向量,51,1-特征值、特征向量-求法,1、特征值的求法,2、特征向量的求法,52,2-特征值、相似矩阵-的性质,性质,全不为零。,53,3-特征值、相似矩阵-的性质,性质2,54,例2、3-特征值、相似矩阵,例3设A是一个方阵,-1,0,0,55,例4-相似矩阵,设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.,解1）因为矩阵A、B相似，所以,56,例4-相似矩阵,设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.,2）因为矩阵A、B相似，所以1也是A的特征值，所以,并且1是B的一个特征值,57,3-特征向量的性质,1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。,2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相,3）正交向量组必是线性无关组。,互正交。,58,4-n阶方阵A可对角化的条件、方法,1、一个充分必要条件：,n阶方阵A可对角化,A有n个线性无关的特征向量,2、两个充分条件：,1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化,2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。,3、对角化方法：,4、正交对角化,（重点）,（重点）,59,例1,（1）求,设,相似于,（1）由性质,（2）,（2）,解,60,例5,61,三阶实对称矩阵的特征值分别为,秩,例8,相应的特征向量分别为,已知,求的值及矩阵,解,秩,有三个不同,特征值,则可取,的特征向量为,则,62,七、二次型化标准型-1-基本定义、基本内容,1、二次型二次齐次多项式；,标准型的矩阵对角阵,二次型的矩阵表示,2、二次型的矩阵前提：实对称矩阵；注意元素特点,标准型仅含有平方项的二次型,则二次型的矩阵,63,二次型及其标准型-2-最重要内容,注1：对线性变换X=PY来说