应用随机过程-- 第一章.ppt

应用随机过程,ApplicationofStochasticProcesses,数学与统计学院,1,教材应用随机过程,主要教学参考书,张波张景肖编中国人民大学出版社,2,参考书,3,课程导引,为什么会有随机过程这门课程？,哲学观点：世界是运动和变化的,但概率论在研究随机现象时，没有考虑时间要素，或只考虑一个静态时间点的随机现象，重点是随机性(随机机理)的规律认识。而绝大多数随机现象，是随时间因素动态变化的，即：每个不同时刻，其随机性规律有本质变化，由此产生随机过程的相关理论(1930年代建立起来)。,随机过程应用领域：信号处理、算法、生物、经济、气象、控制、,4,随机过程-简介,随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此xn,n=1,2,便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。,严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？,这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。,5,随机过程-研究历史,一些特殊的随机过程早已引起注意例如1907年前后，.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。,虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，.柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法；三年后，.辛钦发表了平稳过程的相关理论。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。,1953年，J.L.杜布的名著随机过程论问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。,1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。,6,随机过程-研究方法,研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一类是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。,随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。,目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。,7,第1章预备知识,1.1概率空间,在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现象，大体上分为两类：必然现象和随机现象。,具有随机性的现象随机现象,对随机现象的观察或为观察而进行的实验,随机试验,随机试验的结果,基本事件或样本点。,所有可能的结果称为样本空间。,A称为事件。,（有3个特征）,8,事件的性质假设A,B,C是任意事件，则他们满足：,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4)对偶原则(DeMorgan律),9,定义1.1,10,性质假,11,例1.1,例1.2,例1.3,12,随机试验:掷一枚骰子，观察出现的点数，,思考题：,13,定义1.2,14,定义1.3,15,概率的基本性质,单调性,次可列可加性,16,事件列极限1：,结论：,17,定理：,具体情况：,18,事件列极限2：,定义1.4,的下极限,的上极限,19,关系：,含义：,20,例1.2：,21,1.2随机变量和分布函数,随机变量：,用实数来表示随机实验的各种结果.,定义1.5,关于随机变量的几点说明：,22,23,定义1.6,分布函数的含义：,分布函数的性质：,24,随机变量的类型：,离散型：,连续型：,多维随机变量：,d维随机向量,25,多维随机变量联合分布函数：,性质：,26,一些常见的分布：,1.离散均匀分布：,分布列：,2.二项分布：,分布列：,3.几何分布：,分布列：,27,4.Poisson分布：,分布列：,_参数为的Poisson分布,5.均匀分布：,6.正态分布：,28,7.分布：,函数的性质：,29,8.指数分布：,9.分布：,10.d维正态分布：（略）,30,1.3数字特征、矩母函数与特征函数,一、数字特征,定义1.7：,X的一阶矩,31,32,二、Rieman-Stieltjes积分,Rieman-Stieltjes积分：,33,注：,34,R-S积分性质：,可加性,注：,35,36,三、矩母函数与特征函数,1.矩母函数（momentgeneratingfunction),定义1.8：,37,矩母函数的性质：,38,2.特征函数（characteristicfunction),复随机变量,定义1.10：,复随机变量的数学期望,39,特征函数的性质：,有界性,共轭对称性,40,41,1.4条件概率条件期望独立性,一、条件概率,1.定义：,1.基本公式,定理1:(乘法公式),42,定理2:(全概率公式),定理3:(Bayes公式),43,二、独立性,1.定义：,44,2.独立性的性质：,定理4：,推论1：,推论