模糊数学第四章

.,1,第四章F映射与综合评判,4.1F映射,4.2F变换,4.3F综合评判,4.3.1一级综合评判模型,4.3.2多级综合评判模型,.,2,4.1F映射定义:设A、B是两个集合，若有一规则f，使每一个xA唯一确定一个yB与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记为f：AB，A称为映射f的定义域，B称为f的值域；y称为x在f作用下的象，记作yf(x)，并用符号f:x|y表示，x称为y的一个原象。,.,3,定义称映射,是从到的映射。或表示为,可见，映射是这样的一种对应关系：上的任一元素与上的唯一确定集对应。,.,4,例设,令,.,5,例设,按定义可知是从到的映射。,.,6,定义2：设，对，对应的一个F集,记,它具有隶属函数,称为R在u处的截影.,同理,可以定义R在v处的截影.,.,7,例3:设,U,V为实数域,且,求R在u=1与v=2的截影.,解:据定义,R在u处的截影为,因此,同理,.,8,定理1:任给,都唯一确定了一个从U到V的F映射,记作,对任意,有,反之,对任给从U到V的F映射,都唯一确定了一个F关系,记作,使对任意的,都有,.,9,例4:设,且,试确定关系,并求,与,.,10,4.2模糊变换,.,11,例1设表示“男少年”，其身高论域,体重论域,在U上的F集,某地区身高与体重的关系,在V上的F集,.,12,定义称映射,是从到的变换。或表示为,可见，映射T是这样的一种对应关系：F()上的任一F集A与F(V)上的唯一确定集对应。,.,13,若映射T将U的一个模糊子集A映射到V的一个模糊子集B,则称映射T为从U到V的模糊变换.若模糊变换T满足(1)T(AB)=T(A)T(B),(2)T(A)=T(A),则称T为模糊线性变换.,.,14,命题2设,(1)给定U到V的一个模糊关系R可确定U到V的一个模糊模糊线性变换(2)给定U到V的一个模糊线性变换T可确定U到V的一个模糊关系,.,15,例2设X=x1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4,(1)A=x1,x2,求TR(A)；(2)B=(0.5,0.6,0.9,1,0),求TR(B)；,.,16,TR(A)=AR,TR(A)=(1,1,0,0,0)R=(1,0.3,0,1),TR(B)=(0.5,0.6,0.9,1,0)R=(0.6,1,0.4,0.5),.,17,例3设X=x1,x2,x3,Y=y1,y2,映射T为从X到Y的模糊线性变换.已知,(1)求由T诱导出X到Y的模糊关系RT；(2)求由模糊关系RT诱导出X到Y的模糊映射f.,.,18,0.5,0.60.5,0.2,0.3,0.7,.,19,例4：设,试求：,其中满足A(x)=R(x,y),解得,解：,.,20,取,.,21,4.3模糊综合评判,设个变量的函数,则称为评判函数。,1、定义,.,22,引理：设递增函数,则,.,23,定理1：设为评判函数，则,.,24,定理2：如果,则评判函数,.,25,2、模糊综合评判模型,设U=u1,u2,un为n种因素(或指标),V=v1,v2,vm为m种评判(或等级).由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A=(a1,a2,an)来描述,它是因素集U的一个模糊子集.对于每一个因素ui,单独作出的一个评判f(ui),可看作是U到V的一个模糊映射f.,.,26,由f可诱导出U到V的一个模糊关系,由可诱导出U到V的一个模糊线性变换=AR=B,它是评判集V的一个模糊子集,即为综合评判.(U,V,R)构成模糊综合评判决策模型,U,V,R是此模型的三个要素.,.,27,3、模糊综合评判决策的方法与步骤,建立因素集U=u1,u2,un与决断集V=v1,v2,vm.建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素ui,先建立单因素评判：(ri1,ri2,rim)即rij(0rij1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R=(rij)nm.,.,28,综合评判.根据各因素权重综合评判:是V上的一个模糊子集,根据运算的不同定义,可得到不同的模型.,模型：M(,)主因素决定型,.,29,由于综合评判的结果的值仅由与中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.,.,30,模型：M(,)主因素突出型M(,)与模型M(,)较接近,区别在于用代替了M(,)中的.在模型M(,)中,对乘以小于1的权重表明是在考虑多因素时的修正值,与主要因素有关,忽略了次要因素.,.,31,模型：M(,)主因素突出型,在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳,当模型失效时可采用,.,.,32,模型：M(,)加权平均模型模型M(,)对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.,.,33,例1.服装评判,因素集U=u1(花色),u2(式样),u3(耐穿程度),u4(价格)；评判集V=v1(很欢迎),v2(较欢迎),v3(不太欢迎),v4(不欢迎).对各因素所作的评判如下：u1：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2：(0.7,0.2,0.1,0)u3：(0,0.4,0.5,0.1)u4：(0.2,0.3,0.5,0),.,34,对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(,)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(,)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(,)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04),.,35,对于给定各因素权重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(,)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(,)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(,)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055),.,36,例2.“晋升”的数学模型.,以高校老师晋升教授为例：因素集U=政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差.,因素好较好一般较差差政治表现及工作态度42100教学水平61000科研水平00511外语水平22111,.,37,给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(,)、M(,)模型所作的评判如下：M(,)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(,)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04),.,38,4.4*权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可能“失真”.加权统计方法,.,39,频数统计方法,(1)对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=maxaij|1ik,j=1,2,n;mj=minaij|1ik,j=1,2,n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.,.,40,模糊关系方程法,在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策B=(b1,b2,bm),单因素评判矩阵R=(rij)nm,试问各因素的权重分配A是什么？这就是要求解模糊关系方程XR=B.,定理模糊关系方程XR=B有解的充要条件是R=B,其中,约定=1.且为XR=B的最大解.,证明：充分性是显然的.,.,41,必要性设XR=B有解X=(x1,x2,xn),即,(x1,x2,xn)R=(b1,b2,bm).则j,(xkrkj)=bjj,k,(xkrkj)bj.,k,xk,(x1,x2,xn),BR.,又j,k,有,当rkjbj时,=bj|rkjbjbj,rkjbjrkj=bj;,当rkjbj时,由=1,rkj=rkjbj;,即RB.,.,42,例下列模糊关系方程是否有解？,解：由公式,(1)=(0.2,1,0.4),是其最大解.,(2)=(1,0.7),不是其最