大学数学 导数.ppt

导数,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数可导性与连续性的关系,导数概念的物理背景变速直线运动的即时速度,极限思想：令tt0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度即,直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。,如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时速度呢？,问题：设某质点做直线运动，运动方程为S=S(t),我们可用一段时间内,质点所发生的位移除以所花的时间t,得到平均速度，即,导数概念的几何背景曲线的切线问题,问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点M,如何确定曲线在点M处的切线？,过点M作曲线的割线MN，当动点N沿曲线向定点M靠拢时，割线MN则绕定点M旋转而趋于极限位置MT,得到曲线在点M的切线。,切线：割线的极限位置。,上述过程可用极限式表示如下：,导数Derivative的概念,也可记作,若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。,设函数y=f(x)在点x=x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量y=f(x0+x)-f(x0)，若y与x之比当x0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导(derivable)，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数(deriva记为,即,在引例中有,导数定义的不同形式,导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质,差商,解答,变化率问题,设某个变量Q随时间t的变化而变化，时刻t取值Q(t),从时刻t经过t时间，量Q的改变量为,量Q的平均变化率为,(1)求增量,(2)求增量比,(3)取极限,导数是平均变化率的极限,导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度。,导数的几何意义,法线是过切点且与切线垂直的直线,的切线方程为,法线方程为,求导数步骤：,(2)算比值,(3)求极限,例题设，求,解,所以,如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果,其结果表示是x的函数，称之为导函数。,若函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间I内可导。这时，对于任意xI,都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=f(x)的导函数（简称导数derivative），记作：,把x0换成x,可得,或,导函数的概念,点导数与导函数的关系,如上例中,利用定义求导数举例,例1求常值函数的导数。,解,所以常数的导数等于零，即,例2求正弦函数的导数。,所以,同理可求得,解,对一般的幂函数有,例3求幂函数的导数。,解,所以,例如,例4求对数函数的导数。,解,所以,特别,解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线的斜率为,所求法线方程为,例5求双曲线在点处的切线的斜率，并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程。,即,即,单侧导数,左导数（derivativeontheleft）,右导数（derivativeontheright）,例6已知,解因为,所以,，从而,函数的可导性与连续性的关系,函数f(x)在某点可导，则在该点连续。,证明设函数在点可导,注意:该定理的逆定理不成立.,例7讨论函数f(x)=|x|在点x=0的连续性和可导性。,故函数f(x)=|x|在点x=0连续,故函数f(x)=|x|在点x=0不可导,连续是可导的必要非充分条件,解,函数f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。,解,例8,在x=0处不可导,例9求曲线的通过点（0，4）的切线方程,解设切点为，则