梯形中的常用辅助线总结与对应练习题

例谈梯形中的常用辅助线常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为和;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为和.基本图形如下:一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。例1如图，梯形ABCD的上底AD=3，下底BC=8，腰CD=4，求另一腰AB的取值范围。【变式1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.【变式2】已知：如图,在梯形中, .求证：梯形 是等腰梯形.2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例2如图，在梯形ABCD中，AB/CD，DC=90，BC=1，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，求EF的长。【变式】如图，在梯形中，、为、的中点。求证：EF=(CD-AB)3、平移对角线：一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决【例3】.如图,等腰梯形 中, , ,且 , 是高, 是中位线,求证： 【变式1】在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。【变式2】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_例4在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。二、延长：即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例5在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求CD的长。 【变式1】.如图,在梯形 中, , ,梯形 的面积与梯形 的面积相等求证： .【变式2】所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 三、作对角线：即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例6在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。例7如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。例8在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。【变式1】如图,在梯形 中,.求证：.【变式2】所示ABCD是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC且ABAC，BD=BC，AC，BD交于O.求BCD的度数【变式3】 所示直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ADC=135，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M求证：AD=BF【变式4】所示直角梯形ABCD中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E是CD的中点若AD=2，BC=8，求ABE的面积【变式5】（过顶点作高）已知AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE五、作中位线: 遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题 1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例9在梯形ABCD中，AD/BC，E是DC的中点，AEB=90，求证：ADBC=AB。【变式1】.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且ADBC=DC , 求证：DEEC,DE平分ADC,CE平分BCD 证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略证法3：在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.【变式2】.已知：如图,在梯形 中, 是CD的中点.求证：. 2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例10在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF/AD；（2） 【变式1】所示等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD所成的角AOB=60，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点求证：PQR是等边三角形【变式2】（过一腰中点作底边平行线构造中位线）已知梯形ABCD中，ADBC，ABC的平分线过CD的中点E3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例11、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。【变式1】如图,梯形 中, , 为腰 的中点,求证： .4.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转 、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.例12已知：如图5,在梯形ABCD 中, M、N分别是BD 、AC 的中点.求证： .【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 若等腰梯形的锐角是60，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22*3. 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯形ABCD的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. 5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 7. 如图所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的长. *8. 如图所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中点，且ADBCCD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是ADC与BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？9、如图，已知：在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O. 求证：. 10、如图，已知：AD是的平分线，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 11、如图2-43所示在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DFEC交BC延长线于F求证：四边形EBFD是等腰梯形梯形辅助线专题训练题1、如图，已知在梯形ABCD中，ABDC，D=60，C=45，AB=2，AD=4，求梯形ABCD的面积2、在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC=AD=2， BC=4，求B的度数及AC的长。3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，求等腰梯形的周长。4、 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，求梯形ABCD的面积。5、 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. 6、 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 7、 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 8、已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，BAD、CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F求证： CE=BF9、如图，在梯形中，求的长10、如图6，在梯形中，DE=EC，AB=4,AD=2，求的长