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文档简介
基本方法:点差法 适用类型:出现弦中点和斜率的关系已知椭圆C:,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点,求直线ON(O为坐标原点)的斜率KON 。解:设,设,将其带入椭圆C得:减,并整理,得:进一步整理:题型:求轨迹方程类型:弦中点型曲线E:,过点Q(2,1)的E弦的中点的轨迹方程。解:设直线与椭圆交与两点,中点为由点差法可得:弦的斜率,由,Q(2,1)两点可得弦的斜率为,所以,化简可得中点的轨迹方程为:. 练习:已知直线过椭圆E:的右焦点,且与E相交于两点.设(为原点),求点的轨迹方程答案:类型:动点型在直角坐标系中,已知一个圆心在坐标原点,半径为2的圆,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP,P为垂足.求线段PP中点M的轨迹C的方程。解:设M(x,y),P(x1,y1),则则有: 得轨迹C的方程为 练习设分别是椭圆C:的左右焦点,K是椭圆C上的动点,求线段的中点B的轨迹方程。解: 练习:已知,点在轴上,点在的正半轴上,点在直线上,且.当在轴上移动时,求点轨迹C 答案:类型:动线交点型设向量,过定点,以方向向量的直线与经过点,以向量为方向向量的直线相交于点P,其中,求点P的轨迹C的方程。解:设,,过定点,以方向向量的直线方程为:,过定点,以方向向量的直线方程为:,联立消去得: 求点P的轨迹C的方程为.在ABC中,B是椭圆在x轴上方的顶点,是双曲线位于x轴下方的准线,当AC在直线上运动时,求ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程。解:易知点直线方程是且在直线上运动。可设则的垂直平分线方程为 的垂直平分线方程为 P是ABC的外接圆圆心,点P的坐标满足方程和。 由和联立消去得,故圆心P的轨迹E的方程为题型:动态定值问题 类型:存在性问题双曲线C:的左右焦点分别为,直线过点且与双曲线C交于、两点。设点,问:是否存在实数,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.解:当直线l的斜率不存在时,易知,计算得;当直线l的斜率存在时,设直线l方程为,与双曲线方程联立消得,设、,则.假设存在实数,使得,故得恒成立,解得 当时,.,综上,存在,使得.练习抛物线:,焦点,过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、 的中点分别为问:直线是否过某一定点?若经过,求出该定点;不经过,请说明理由。解:类型:恒成立问题设圆过,且圆心在曲线:上,是圆在轴上截得的弦,试探究当运动时,弦长是否为定值?为什么?解:设圆的圆心为,圆过,圆的方程为.令得:.设圆与轴的两交点分别为,,不妨设,由求根公式得,.又点在抛物线上,即4.当运动时,弦长为定值4.练习如图,已知椭圆,点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0),l交椭圆于A、B两个不同点。求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解:设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可.,设,则且,故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.求证:为定值。解:2 类型:能够转化为直线垂直的特殊几何问题(矩形问题)过点Q(2,0)作直线l与曲线C:交于A、B两点,设N是过点,且以为方向向量的直线上一动点,满足(O为坐标原点),问是否存在这样的直线l,使得四边形OANB为矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解: 当直线l的斜率不存在时,与椭圆无交点,不符合题意.所以设直线l的方程为y = k(x+2),与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,N点所在直线方程为由由= 即 即,四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB,则,即,即,于是有,得 检验:设,即点N在直线上.存在直线l使四边形OANB为矩形,直线l的方程为(三点共圆问题)设直线与双曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,2)?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.解:设A、B点的坐标分别为、,由 得,AB与双曲线交于两点,0,即解得若以AB为直径的圆过D(0,2),则ADBD,即, 解得,故满足题意的k值存在,且k值为.题型:动态最值问题 类型:转化为函数关系,并通过交点情形找出限定范围 设过的直线与曲线C:交于两个不同点M、N,求的取值范围。解:当直线的斜率不存在时,与曲线无交点,不合题意,可设直线的方程为:,与曲线交于,则由 ,的取值范围是.练习曲线:的准线线交轴于,过的直线交曲线于两点,又的中垂线交轴于点,求横坐标取值范围。解: 横坐标取值范围曲线E是双曲线C:的右支,焦点为,直线过点且与双曲线C交于、两点。过、作直线的垂线、,垂足分别为、,记,求的取值范围. 解法一:(一般方法)直线的斜率不存在时,当直线l的斜率存在时,设直线l方程为,与双曲线方程联立得,设、,解得.直线是双曲线的右准线, 由双曲线定义得:,.综上, 解法二:(仅适用于双曲线情形,因为双曲线可以以渐近线判断交点个数)设直线的倾斜角为,双曲线的渐近线为由于直线与双曲线右支有二个交点,过作,垂足为,则, 由,得,故 .类型:巧用求取值范围椭圆C:,过点P(0,m)的直线l与椭圆C交于相异两点A、B,且,求m的取值范围解:,(),(1),14,3 设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2),得(k22)x22kmx(m21)0,(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0 即k22m2-2 x1x2, x1x2.3 ,x13x2 ,消去x2,得3(x1x2)24x1x20,3()240,整理得4k2m22m2k220.m2时,上式不成立;m2时,k2, 将代入,得:2m2-2,解,得:1m 或 m0, 故直线AB的垂直平分线方程为令x=0,得 等号,所以所求的取值范围是。 解法二:(点差法)设斜率为k所以,两式相减并整理,得:又直线AB过F点,故:解方程组,得:,(剩余部分如上解法) 类型:转化为轨迹方程已知点与椭圆:,过点作直线与轨迹交于、两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围解:由点差法可得点的轨迹方程为设直线:(其中),则,故由,即,解之得的取值范围是几类考察方式:题型:单纯的计算问题类型:垂直问题(垂直问题)已知双曲线、是双曲线上不同的两点,且,求直线的方程 解:,M、B2、N三点共线 , 当直线垂直x轴时,显然不合题意 当直线不垂直x轴时,由B1(0,3),B2(0,3),可设直线的方程为,直线的方程为 由,知 代入双曲线方程得,整理得,解得 , ,故直线的方程为 练习:双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,D1、D2分别是双曲线的虚轴端点(D2在y轴正半轴上),过D1的直线l交双曲线M、N,求直线l的方程。答案:题型:巧用几何性质简化计算过程已知直线过椭圆E:的右焦点,且与E相交于两点.若直线的倾斜角为60,求的值.解:设椭圆另一个焦点为,在中设,则由余弦定理得。同理,在,设,则,也由余弦定理得于是。题型:三角形面积问题类型:已知面积,求直线方程已知曲线C:,过点当AOB的面积为时(O为坐标原点),求的值。解:当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,设直线m的方程为,代入 ()设交点A,B的坐标分别为,则. 点O到直线m的距离,.,(舍去),.当方程()的解为,若若.当方程()的解为,若若.练习过点E(-2,0)的直线交椭圆C:于点M、N,且满足,(O为坐标原点),求直线的方程。解:故直线的方程为:练习:已知椭圆C:F为椭圆在x轴正半轴上的焦点,M、N两点在椭圆C上运动,且,定点A(4,0).当 的值为6时, 求出直线MN的方程.答案: 或 类型:求三角形面积最值问题设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.若的面积取得最大值时的椭圆方程证:设由 得将代入消去得 由直线l与椭圆相交于两个不同的点得整理得,即 由,得而点, ,得代入上式,得 于是OAB的面积 其中,上式取等号的条件是即 由可得,将及这两组值分别代入,均可解出经检验:与能够满足OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 类型:特殊三角形的判定问题曲线:的准线线交轴于,过的直线交曲线于两点,又的中垂线交轴于点,试判断能否为正三角形.若能,求出直线AB的斜率;若不能,请说明理由。解:假设是正三角形则有: N(1,0)可设:,由由 设, AB的中点为,AB的中垂线为,令,得:点到直线AB的距离为: 将代入,计算得:,满足 题型:与圆结合的计算性问题抛物线的焦点为N,圆N是以N为圆心,同时与直线 相切的圆,问:是否存在一条直线同时满足下列条件: 分别与直线交于A、B两点,且AB中点为; 被圆N截得的弦长为解法一:假设存在直线满足两个条件,显然斜率存在, 设的方程为, N,以N为圆心,同时与直线 相切的圆N的半径为,因为被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,即,解得. 当时,显然不合AB中点为的条件,矛盾. 当时,的方程为,由,解得点A坐标为, 由,解得点B坐标为,显然AB中点不是,矛盾.所以不存在满足条件的直线解法二:由,解得点A坐标为, 由,解
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