高中圆锥曲线经典题型归纳

基本方法：点差法 适用类型：出现弦中点和斜率的关系已知椭圆C：，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON 。解：设，设，将其带入椭圆C得：减，并整理，得：进一步整理：题型：求轨迹方程类型：弦中点型曲线E：，过点Q（2,1）的E弦的中点的轨迹方程。解：设直线与椭圆交与两点，中点为由点差法可得：弦的斜率,由，Q（2,1）两点可得弦的斜率为,所以，化简可得中点的轨迹方程为：. 练习：已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.设（为原点），求点的轨迹方程答案：类型：动点型在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP，P为垂足.求线段PP中点M的轨迹C的方程。解：设M(x，y)，P（x1，y1），则则有： 得轨迹C的方程为 练习设分别是椭圆C：的左右焦点，K是椭圆C上的动点，求线段的中点B的轨迹方程。解： 练习：已知,点在轴上，点在的正半轴上，点在直线上，且.当在轴上移动时，求点轨迹C 答案：类型：动线交点型设向量，过定点，以方向向量的直线与经过点，以向量为方向向量的直线相交于点P，其中，求点P的轨迹C的方程。解：设，,过定点，以方向向量的直线方程为：,过定点，以方向向量的直线方程为：,联立消去得： 求点P的轨迹C的方程为.在ABC中，B是椭圆在x轴上方的顶点，是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线上运动时，求ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程。解：易知点直线方程是且在直线上运动。可设则的垂直平分线方程为 的垂直平分线方程为 P是ABC的外接圆圆心，点P的坐标满足方程和。 由和联立消去得，故圆心P的轨迹E的方程为题型：动态定值问题 类型：存在性问题双曲线C：的左右焦点分别为，直线过点且与双曲线C交于、两点。设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.解：当直线l的斜率不存在时，易知，计算得；当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，则.假设存在实数，使得，故得恒成立，解得 当时，.，综上，存在，使得.练习抛物线：，焦点，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为问：直线是否过某一定点？若经过，求出该定点；不经过，请说明理由。解：类型：恒成立问题设圆过，且圆心在曲线：上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？解：设圆的圆心为，圆过，圆的方程为.令得：.设圆与轴的两交点分别为，,不妨设，由求根公式得，.又点在抛物线上，即4.当运动时，弦长为定值4.练习如图，已知椭圆，点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点。求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可.,设，则且，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.求证：为定值。解：2 类型：能够转化为直线垂直的特殊几何问题（矩形问题）过点Q(2,0)作直线l与曲线C：交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解： 当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点，不符合题意.所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为由由= 即 即，四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB，则，即，即，于是有,得 检验：设,即点N在直线上.存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为（三点共圆问题）设直线与双曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.解：设A、B点的坐标分别为、，由 得，AB与双曲线交于两点，0，即解得若以AB为直径的圆过D（0，2），则ADBD，即， 解得，故满足题意的k值存在，且k值为.题型：动态最值问题 类型：转化为函数关系，并通过交点情形找出限定范围 设过的直线与曲线C：交于两个不同点M、N，求的取值范围。解：当直线的斜率不存在时，与曲线无交点，不合题意，可设直线的方程为：，与曲线交于,则由 ，的取值范围是.练习曲线：的准线线交轴于，过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，求横坐标取值范围。解： 横坐标取值范围曲线E是双曲线C：的右支，焦点为，直线过点且与双曲线C交于、两点。过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围. 解法一：（一般方法）直线的斜率不存在时，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立得，设、，解得.直线是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：，.综上， 解法二：（仅适用于双曲线情形，因为双曲线可以以渐近线判断交点个数）设直线的倾斜角为，双曲线的渐近线为由于直线与双曲线右支有二个交点，过作，垂足为，则， 由，得,故 .类型：巧用求取值范围椭圆C：,过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于相异两点A、B，且，求m的取值范围解：,（），（1），14，3 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）,得（k22）x22kmx（m21）0,（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 即k22m2-2 x1x2， x1x2.3 ,x13x2 ,消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240,整理得4k2m22m2k220.m2时，上式不成立；m2时，k2， 将代入，得：2m2-2，解，得：1m 或 m0， 故直线AB的垂直平分线方程为令x=0，得 等号，所以所求的取值范围是。 解法二：（点差法）设斜率为k所以，两式相减并整理，得：又直线AB过F点，故：解方程组，得：，（剩余部分如上解法） 类型：转化为轨迹方程已知点与椭圆：，过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围解：由点差法可得点的轨迹方程为设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是几类考察方式：题型：单纯的计算问题类型：垂直问题（垂直问题）已知双曲线、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程 解：，M、B2、N三点共线 , 当直线垂直x轴时，显然不合题意 当直线不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，3），可设直线的方程为，直线的方程为 由，知 代入双曲线方程得，整理得，解得 , ，故直线的方程为 练习：双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，求直线l的方程。答案：题型：巧用几何性质简化计算过程已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.若直线的倾斜角为60，求的值.解：设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得。同理，在，设，则，也由余弦定理得于是。题型：三角形面积问题类型：已知面积，求直线方程已知曲线C：，过点当AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值。解：当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为，代入 （）设交点A，B的坐标分别为，则. 点O到直线m的距离，.，（舍去）,.当方程（）的解为,若若.当方程（）的解为,若若.练习过点E(-2，0）的直线交椭圆C：于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。解：故直线的方程为:练习：已知椭圆C：F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上运动，且，定点A（4，0）.当 的值为6时, 求出直线MN的方程.答案： 或 类型：求三角形面积最值问题设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.若的面积取得最大值时的椭圆方程证：设由 得将代入消去得 由直线l与椭圆相交于两个不同的点得整理得，即 由，得而点, ,得代入上式，得 于是OAB的面积 其中，上式取等号的条件是即 由可得,将及这两组值分别代入，均可解出经检验：与能够满足OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 类型：特殊三角形的判定问题曲线：的准线线交轴于，过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，试判断能否为正三角形.若能，求出直线AB的斜率；若不能，请说明理由。解：假设是正三角形则有： N（1，0）可设：，由由 设， AB的中点为，AB的中垂线为，令，得：点到直线AB的距离为： 将代入，计算得：，满足 题型：与圆结合的计算性问题抛物线的焦点为N，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，问：是否存在一条直线同时满足下列条件： 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为； 被圆N截得的弦长为解法一：假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， 设的方程为， N，以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，即，解得. 当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾. 当时，的方程为,由，解得点A坐标为， 由，解得点B坐标为，显然AB中点不是，矛盾.所以不存在满足条件的直线解法二：由，解得点A坐标为， 由，解