2020新教材高中数学 第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理练习 新人教B版必修第四册

9.1.2余弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos a=13,则a=()a.5b.7c.4d.3解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosa=9+4-23213=9,解得a=3.故选d.答案d2.在abc中,已知a=2,则bcos c+ccos b等于()a.1b.2c.2d.4解析bcosc+ccosb=ba2+b2-c22ab+cc2+a2-b22ac=2a22a=a=2.答案c3.在abc中,已知b2=ac且c=2a,则cos b等于()a.14b.34c.24d.23解析因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=2a.所以cosb=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a=34.答案b4.在abc中,已知三个内角a,b,c满足sin asin bsin c=654,则cos b=()a.916b.34c.5716d.74解析根据正弦定理可知sinasinbsinc=abc=654,所以设a=6k,b=5k,c=4k.所以由余弦定理得cosb=a2+c2-b22ac=(6k)2+(4k)2-(5k)226k4k=916.故选a.答案a5.已知a,b,c为abc的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则c的大小为()a.60b.90c.120d.150解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,所以a2+b2-c2=-ab,即a2+b2-c22ab=-12,所以cosc=-12,所以c=120.答案c6.在abc中,sin2a2=c-b2c(a,b,c分别为角a,b,c的对应边),则abc的形状为()a.正三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形解析因为sin2a2=1-cosa2=c-b2c,所以cosa=bc=b2+c2-a22bca2+b2=c2,符合勾股定理.故abc为直角三角形.答案b7.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知sin asin bsin c=357,那么这个三角形最大角的度数是()a.135b.90c.120d.150解析因为sinasinbsinc=357,设a=3k(k0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角c是最大角,由余弦定理得cosc=a2+b2-c22ab=-12,因为0c0,所以a12,最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以a2+(2a-1)2(2a+1)2,化简得0a2a+1,所以a2,所以2a8.答案(2,8)12.在abc中,求证:a2-b2c2=sin(a-b)sinc.证明右边=sinacosb-cosasinbsinc=sinasinccosb-sinbsinccosa=aca2+c2-b22ac-bcb2+c2-a22bc=a2+c2-b22c2-b2+c2-a22c2=a2-b2c2=左边.所以a2-b2c2=sin(a-b)sinc.能力提升1.在abc中,已知c=3,b=2,a=10,则()a.cos a=14b.sabc=3154c.cos b=-104d.abac=-32解析因为abac=|ab|ac|cos,由向量模的定义和余弦定理可以得出|ab|=3,|ac|=2,则cos=ab2+ac2-bc22abac=14,即cosa=14,故a正确;sina=154,则cosb=32+(10)2-222310=104.故c错误;则sabc=12bcsina=1223154=3154.故b正确;abac=3214=32.故d错误.综上,ab正确.答案ab2.abc中,角a,b,c所对的边长分别为a,b,c.若c=120,c=2a,则()a.abb.ab2,所以ab.故选a.答案a3.在abc中,已知2a=b+c,且a2=bc,则abc的形状是()a.两直角边不等的直角三角形b.顶角不等于90或60的等腰三角形c.等边三角形d.等腰直角三角形解析解法1:由2a=b+c,知a=60.又cosa=b2+c2-a22bc,所以12=b2+c2-bc2bc.所以b2+c2-2bc=0.即(b-c)2=0,所以b=c.故abc为等边三角形.解法2:验证四个选项知c成立.答案c4.在abc中,已知ab=3,bc=13,ac=4,则边ac上的高为()a.322b.332c.32d.33解析如图,在abc中,bd为ac边上的高,且ab=3,bc=13,ac=4.因为cosa=32+42-(13)2234=12,所以sina=32.故bd=absina=332=332.答案b5.已知abc中,a,b,c的对边的长分别为a,b,c,a=120,a=21,abc的面积为3,则c+b=()a.4.5b.42c.5d.6解析由三角形的面积公式可得sabc=12bcsina=12bc32=34bc=3,bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosa,即b2+c2-24-12=21,得b2+c2=17.所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+24=25,因此,c+b=5.故选c.答案c6.如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度,那么新三角形()a.一定是锐角三角形b.一定是钝角三角形c.一定是直角三角形d.形状无法确定解析设原直角三角形c为直角,三边都增加1后.cosc=(a+1)2+(b+1)2-(c+1)22(a+1)(b+1)=2a+2b-2c+12(a+1)(b+1)0,所以最大角为锐角,所以三角形为锐角三角形.故选a.答案a7.在abc中,ab=2,ac=6,bc=1+3,ad为边bc上的高,则ad的长是.解析因为cosc=bc2+ac2-ab22bcac=22,所以sinc=22.所以ad=acsinc=3.答案38.在abc中,sin b2=255,ab=5,bc=1,则ac=.解析由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccosb,又cosb=1-2sin2b2=1-245=-35.故ac2=25+1-251-35=32,所以ac=42.答案429.abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知a=7,c=5,a=600.(1)求cos c;(2)求abc的面积.分析(1)利用余弦定理可构造方程求得b;利用余弦定理求得cosc;(2)根据三角形面积公式可直接求得结果.解(1)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosa,得b2+25-5b=49,解得b=-3(舍)或b=8.故由余弦定理得cosc=a2+b2-c22ab=49+64-25278=1114.(2)由(1)得sabc=12bcsina=1285sin60=103.10.在abc中,内角a,b,c的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=35,sin c=2sin a.(1)求a,c的值;(2)求sin2b+4的值.分析(1)利用正弦定理可得c=2a,从而可求出a,c.(2)利用余弦定理可计算出cosb,再利用同角的三角函数的基本关系式可求sinb,利用二倍角公式可求2b的正弦与余弦,最后利用两角和的正弦公式可求sin2b+4.解(1)由正弦定理csinc=asina及sinc=2sina,得c=2a.因为a+c=35,所以a=5,c=25.(2)因为由余