自动控制原理第三章-二阶系统的数学模型及单位阶跃响应

二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应,定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。,二阶系统数学模型,二阶系统的微分方程一般式为：,二阶系统的反馈结构图,二阶系统的传递函数,开环传递函数：,闭环传递函数：,二阶系统的特征方程为,解方程求得特征根：,当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：,式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。,s1,s2完全取决于，n两个参数。,此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。,特征根分析（欠阻尼）,典型二阶系统的暂态特性,特征根分析（过阻尼）,此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。,特征根分析（临界阻尼）,此时s1,s2为一对相等的负实根。s1=s2=-n,特征根分析（无阻尼）,此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。S1,2=jn,特征根分析（负阻尼）,此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。,特征根分析（负阻尼）,此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。,二阶系统单位阶跃响应,1.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,取C(s)拉氏反变换得：,由,得,过阻尼系统单位阶跃响应,与一阶系统阶跃响应的比较,过阻尼二阶系统分析,衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；（指数关系）衰减项前的系数一个大，一个小；二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。,过阻尼二阶系统阶跃响应指标分析,对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定的表达式是很困难的，一般取相对量及经计算机计算后制成曲线或表格。,2.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,欠阻尼二阶系统单位响应系统的输出,拉氏反变换得：,欠阻尼二阶系统输出分析,二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为d。,右图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线,根据右图分析系统的结构参数、对阶跃响应的影响,平稳性（）,结论：越大，d越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，d越大，振荡越严重，平稳性越差。,当0时，为零阻尼响应，具有频率为的不衰减（等幅）振荡。,阻尼比和超调量的关系曲线,在一定的情况下，越大，振荡频率也越高，响应平稳性也越差。,结论：对于欠阻尼二阶系统而言，大，小，系统响应的平稳性好。,快速性,从图中看出，对于5误差带，当时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称为最佳阻尼比。,总结：越大，调节时间越短；当一定时，越大，快速性越好。,稳态精度,从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。,补充说明：稳态分量（steadystatecomponent）即周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，电路中所出现的与激励周期相同的响应分量。瞬态分量（transientcomponent）周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，从全响应中减去稳态分量的剩余部分。稳态分量就是时间趋向正无穷，也就是电路稳定时的量。瞬态分量就是开关打开或闭合后瞬时值。,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标,1.上升时间：令，则,所以：,根据极值定理有：,该项不可能为零,2.峰值时间：,取n=1得:,3.超调量：,将峰值时间代入下式,得:,所以:,4.调节时间,写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。,当阻尼比时,二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系,由阻尼比判断一个二阶系统的暂态品质：过阻尼时，单调线性，无超调，无振荡，时间长。小于等于零时，有等幅振荡或发散振荡，系统不稳。一般欠阻尼工作。阻尼比过小，超调量大，振荡次数多，调节时间长，品质差。最大超调量只与阻尼比有关，由其来选择阻尼比。调节时间与阻尼比和自然振荡角频率的乘机成反比。阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量在1.5%-25%,三、改善二阶系统响应的措施,1.误差信号的比例微分控制,系统开环传函为：,闭环传函为：,等效阻尼比：,可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。,前面图的相应的等效结构,由此知道：,和及的大致形状如下,一方面，增加项，增大了等效阻尼比，使曲线比较平稳。另一方面，它又使加上了它的微分信号，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比的平稳作用。,总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数。若大一些，使具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。,2.输出量的速度反馈控制,将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。,闭环传函为：,等效阻尼比：,等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。,3.比例微分控制和速度反馈控制比较,从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。,四、二阶系统举例2,设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。,例题解析(1),输入：单位阶跃,闭环传递函数：,例题解析(2),当KA200时,系