理论力学PPT课件

.,1,第二章拉格朗日力学,2.1约束2.2虚功原理2.3力学变分原理2.4拉格朗日方程2.5运动积分2.6*全变分,.,2,2.1约束,2.1.1约束及其分类,体系的位形：对于N个质点组成的系统，它在任意时刻的位置形状。,位形可用N个质点的位矢描述,也可用一组变数描述，这组变数称为坐标，,坐标对时间的导数称为速度。,约束通常表示为：,或,（约束方程或约束不等式）,为了书写方便，作如下缩记,.,3,约束分类：,1.按约束能否脱离（解除）分类,可解约束（非固执约束）：能够脱离（解除）的约束,也叫单面约束,不可解约束（固执约束）：,也叫双面面约束,不能脱离（解除）的约束,例：,质点被一柔绳连在一固定点上作任意运动,O,l,O,l,例：,质点被一刚性杆和一固定点连接,.,4,2.按是否显含时间分类,不稳定约束（非定常约束）：,稳定约束（定常约束）：,随时间变化的约束，约束方程显含时间t,不随时间改变的约束，约束方程不显含时间t,O,l,例：,质点被一刚性杆和一固定点连接,为稳定约束,l,c,x,y,z,若杆的上端从O点开始以匀速C沿y方向运动,O,为不稳定约束,.,5,3.按是否显含速度（坐标的时间微分）分类,几何约束：,运动约束（微分约束）：,不显含速度的约束,显含速度的约束,完整约束：几何约束和可以积分的微分约束,非完整约束：不能积分的微分约束,完整系：只受完整约束的力学体系,非完整系：含有非完整约束的力学体系,在本课程中我们主要关注完整系。,特点：表现为约束对系统位形的限制,特点：表现为约束对系统速度的限制，如在方程中任意指定坐标，速度在指定坐标及约束条件下变化。,.,6,例：,在水平面上作纯滚动的圆盘，盘面始终保持与水平面垂直,x,z,y,v,o,解：,描写盘的运动需要4个坐标，可以选为盘心坐标（x,y），盘轴与x轴的夹角和盘绕自身轴转过的角度,a,因为盘作纯滚动，故盘心的速度为：,其在x轴和y轴投影为：,或写成：,以上约束方程不能积分，无法写成形式：,如果盘沿直线作纯滚动（=常数），则约束方程是可积的，积分后给出：,此时约束变为完整约束,.,7,2.1.2广义坐标与自由度,若体系有约束存在，则n个坐标可能是不独立的。,这时可取一组独立参数来代替它们描写体系的位形：,这组独立的参数叫作广义坐标。,注：广义坐标包含了约束的信息，其作用可取代约束方程。,若体系为完整系，存在k个完整约束：,则独立坐标数为，它也是独立速度的数目。,若体系为非完整系，假设除了k个完整约束之外，还有l个非完整约束：,从以上方程还可解出l个速度，因此独立速度的数目为：,体系的自由度,对完整系独立坐标数等于自由度，对非完整系独立坐标数大于自由度。,.,8,2.1.3虚位移与虚速度,设对于质点组存在完整约束：,它是3N维空间中的一个超曲面。在主动力和约束力作用下，体系的牛顿方程为,目的：用约束条件取代约束力R，使R不出现在运动方程中,对于一大类约束，约束力矢量沿超曲面的法向方向,方法：用切平面内的任意矢量与约束力R点乘，就可消去R,为得到切平面内的矢量，设想在某一时刻，体系的位形在约束许可的条件下，发生一微小的变更，使变更后的位形仍满足该时刻的约束条件,将上式在附近进行泰勒展开，保留到一级项,这种假想的，在某一固定时刻约束所许可的位置变更叫作虚位移。,虚位移方程,.,9,约束的全微分为：,虚位移可以看作在约束的全微分中取得到。,虚位移可以看作是将时间“凝固”得到的位移。,-,而满足式的位置变更叫作可能位移，体系的实位移是可能位移的一个。,当且仅当约束是稳定约束时虚位移才与可能位移相同。,虚位移可用广义坐标的虚变更表示为：,广义坐标的这种虚变更称为广义坐标的变分。,也可引入虚速度的概念，即在约束许可条件下，某固定时刻速度的微小变更：,其中为广义速度的虚变更，称为广义速度的变分。,.,10,2.1.4泛函及其变分,当把体系的广义坐标和广义速度视为时间的未知隐函数时，函数,称为变量和的泛函。,和称为泛函的函数构成。,泛函和普通复合函数的区别：,泛函的宗量和是未知的，可以任意变化，t的作用只是一个参数。,普通复合函数的宗量通常为时间的已知函数，它最终以t为宗量。,设想泛函在某一固定时刻因广义坐标和广义速度的微小变更而发生一个假想的变更,（泛函的等时变分，简称变分）,.,11,变分的运算性质：,另外，由于在等时变分中时间是凝固的，它可以与时间的微分和积分交换顺序：,.,12,证明：变分可以与时间的微分和积分交换顺序,证：依照变分的定义：,特例：,速度变分与坐标变分的关系,.,13,例：,证明如下两个经典拉格朗日关系,证：,根据,将上式对求偏导，得,将式对求偏导，得：,-,证毕。,.,14,2.2虚功原理,2.2.1虚功原理,虚功：力F在虚位移下所作的功,设完整系中每个质点所受的主动力和约束力分别为Fi和Ri则体系的总虚功为,理想约束：如果所有约束力在任意虚位移上的虚功之和为零：,说明：虚功只具有功的量纲，并不与任何真实的能量转化过程相关。,.,15,虚功原理：受理想约束的系统处于平衡状态的必要条件是系统全部主动力在任意虚位移中的虚功之和为零，即,【补充】如果上述理想约束还是定常的，则还是系统能处于静平衡的充分条件.,证明：,因体系处于平衡状态，对每个质点有,理想约束,证明：,如果约束是定常的，则真实位移是虚位移之一，则,由质点组动能定理可知：,因此，若系统初始时各质点静止，则以后也会保持静止，即处于静平衡。得证,注：以上只是针对静平衡。否则有反例，如小球在不可伸长的绳的约束下做匀速圆周运动.,.,16,虚功还可以用广义坐标来表示：,定义广义力：,（可理解为力在广义坐标轴上的投影）,则：,因此虚功原理可用广义坐标表示为：,因为各彼此独立，所以,（完整系的平衡方程）,若体系为保守系，则,于是：,故保守系的平衡方程可写为,或,.,17,应用虚功原理处理问题主要步骤：,(1)判断约束类型是否满足虚功原理适用条件；,(2)正确判断自由度，选择合适的广义坐标；,(3)分析并图示系统受到的主动力；,(4)虚功原理坐标变换方程广义平衡方程；,有势系求V坐标变换方程广义平衡方程,(5)求解广义平衡方程,虚功方程中不出现约束力，所以不能直接用它来求解约束力。,技术处理：有时可以把要求解的约束力当成主动力，并把相应的约束解除。那么就进入了虚功方程。这样就可求解该约束力了。,对于非理想约束体系：只要把相应于非理想约束的约束力包括在主动力中，仍可用虚功原理进行研究。,.,18,例：,均匀杆OA，重量为P1，长度为l1，能够在固定平面内绕固定铰链O转动。此杆的A端用铰链连一重量为P2，长度为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时，（1）此二杆与水平线所成的角度；（2）杆OA之上端所受的约束力。,解：,x,y,O,F,A,B,(1)这是一平面问题，体系的自由度为2.可以取，为广义坐标。设两杆重心坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，B点的坐标为(x3,y3)，由虚功原理,.,19,(2)为求约束力，解除杆在O端的约束，视杆的O端为自由端，视杆在O端的约束力R为主动力。此时体系的自由度为4.取，和O端的坐标x0,y0为广义坐标。,x,O,A,B,y,此时虚功方程可写为：,因彼此独立,.,20,例：,用两根长度为l的轻绳把两个带正电的小球悬挂在固定点O，两球参数如图所示，第二个小球的质量未知。此体系在重力和库仑力的共同作用下达到并保持在平衡状态，平衡时两绳夹角为90。用虚功原理求第二个小球的质量m2，为简洁，令,O,l,l,解：,这是一平面问题,体系自由度为2.取，为广义坐标。,体系势能为：,.,21,2.2.2拉格朗日乘子法与约束力,先不引入广义坐标，而采用原来的不独立坐标,此时虚功方程可写为,其中为与坐标相应的“广义力”：,因为不独立，不能从虚功方程得到,对约束条件取变分，并要求变更后依然在约束面内，则,引入k个待定常数,分别上式中的每个方程相乘,再加到上,-,因存在k个约束条件，n个只有nk个独立，依然不能断定前的系数为零,但总可以适当选择k个拉氏乘子，使k个不独立的前的系数为零。,不失一般性设是不独立的，通过选择拉氏乘子，可以将这k项去掉。,-,.,22,此时式变为：,上式中nk个是独立，故它们前边的系数必然为零。,于是我们最终得到：,用不独立坐标表示的平衡方程,将之与k个约束方程联立可解出n个不独立坐标和k个拉氏乘子。,而代表第j个约束所产生的约束力在坐标上的分量。,简单说明：对于处于平衡状态的位形，在任意分量上有,与比较，可知：,-,.,23,例：,一长度为2l，质量为m的均匀棒AB的两端搁置在两光滑的斜面上，如图所示。求平衡时，棒与水平线的夹角及斜面对A端的约束力R。,解：,A,B,mg,O,x,y,本题可用拉氏乘子法求解。,2l,取以及A端的坐标x,y为一般坐标。而体系的自由度为1，故它们不独立，要满足两个约束方程：,对它们取变分，得,设棒质心C的坐标为，则虚功方程为,引入拉氏乘子、，分别与中两式相乘，再加到上式，得,-,令各变分前的系数为零，得,.,24,斜面对A点的约束力分量为（A点对应第1个约束）,由对称性可知，B端的约束力为,.,25,2.3力学变分原理,2.3.1达朗伯原理（达朗贝尔）,对牛顿运动方程移项，得,达朗伯惯性力,意义：通过移项，把动力学问题转化为静力学问题；每一时刻作用在质点上的主动力、约束力和达朗伯惯性力相平衡。,（达朗伯原理）,用点乘上式，并对i求和，在理想约束条件下得到,（微分形式的变分原理：达朗伯方程）,例：,用达朗伯原理推导刚体定轴转动的运动方程。,解：,刚体可视为质点组,每个质点作圆周运动,体系只有一个自由度,取转角为广义坐标.设第i个质点到轴的距离为,则其虚位移为沿圆周的切线方向.加速度沿切线方向的分量为,设力的切向分量为,由达朗伯方程,注意到：,.,26,2.3.2哈密顿原理,达朗伯原理：,第一项为虚功：,第二项：,式中：,P52,.,27,将式子对时间从到积分，并令端点固定,则,基本形式的哈密顿原理（积分形式的变分原理）,如果体系为保守系，则,引入拉格朗日函数：,和作用量：,则在端点固定条件下，有,保守系的哈密顿原理简称哈密顿原理,物理意义：在约束许可的一切可能积分路径中，使作用量取驻值的路径为物理上可实现的真实物理过程。,.,28,例：,用哈密顿原理导出质点在重力场中运动的微分方程。,解：,取Z轴竖直向上，则拉氏函数,由于的任意性，可得,于是，哈密顿原理可写成,由分部积分,.,29,有关哈密顿原理的说明：,(1)哈密顿原理的形式较为简洁。它包含了全部的动力学，如非线性非完整约束问题，非保守力问题，都有相应的哈密顿原理。当然用得最多的仍然是完整保守系的哈密顿原理。,(2)哈密顿原理可以方便地推广到其他一些非力学系统中去（如电磁场、弹性力学场、基本粒子场等）。哈密顿原理和拉氏量一起，构成了一种隐含各种运动微分方程的简洁而不变的方法。用这种方法，可以导出牛顿方程、麦克斯韦方程、薛定谔方程等。,(3)开始时哈密顿原理是从牛顿力学发展而来，但是随着物理学理论的发展，后来物理学家撇开牛顿方程而将哈密顿原理上升为“第一原理”的地位，由此可以导出经典力学的基本微分方程。而且它还可以作为力学以外的物理学其他领域的基本原理。,简而言之，哈密顿原理可能代表了上帝的真实意图，许多自然规律可能就是按照这一原则来执行的。而牛顿方程、麦克斯韦方程等只是这一原理在某一方面的表象罢了。,.,30,2.4拉格朗日方程,基本形式的哈密顿原理可用广义坐标表示为,因为，圆括号中的第二项可写为,将之代入，得,-,由的任意性，得,（基本形式的拉格朗日方程）,考虑端点固定条件,.,31,定义拉格朗日力,（用广义坐标描写的动量定理）,若体系为保守系，则，代入基本形式的拉氏方程,对于保守系势能V只是位置的函数,保守系的拉格朗日方程（简称拉格朗日方程）,若体系只有一部分为保守力，,.,32,有关拉格朗日方程的说明：,（2）上述的拉格朗日方程仅适用于惯性系。通常在解题之前，首先要建立惯性坐标系，拉氏量要在惯性系中写出来。而非惯性系中的拉氏方程和拉氏量都要做一定的修改。,（1）拉格朗日方程是分析力学的核心方程之一。该方程是对力学系统的整体而言的，因此首先必须区分系统和外界。,（3）拉格朗日方程中的动能和势能都必须用广义坐标和广义速度来表示；在应用拉氏方程之前，必须利用约束条件将问题中的坐标位形或变换成广义坐标。,（4）拉格朗日方程的成立条件：理想的完整系。,（5）拉格朗日方程较牛顿方程简洁：对于由N个质点组成，受到s个完整约束条件限制的力学系统来说，应用牛顿方程需要（3N+s）个方程联立求解，而用拉氏方程只需要（3Ns）个方程。约束越多，优越性越明显。,（6）拉格朗日方程是联系力学和其他物理学科(甚至非物理学科)的桥梁，因为拉氏方程是从能量角度来写运动方程的，而能量是标量，它是整个物理学中甚至非物理学科中一个通用的基本物理量。但是牛顿方程中的动量和力都是矢量，它们仅仅是力学范围内才有定义的力学量。,.,33,例：,设质量分别为和的物体通过一根柔软不可伸缩的绳子挂在轻质滑轮的两边，求体系的运动方程。绳子和滑轮的质量以及一切摩擦均忽略不计。,x,lx,O,解：,体系所受的约束为完整稳定约束，自由度为1。绳子的张力为约束力，主动力为重力，属于保守力，可用拉格朗日方程。,体系的动能,体系的势能,代入拉氏方程,x,.,34,例：,质量为m的小环，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，如果圆圈在水平面面内以角速度绕圆圈上某点O转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。,解：,x,y,小环的绝对速度可表示为：,.,35,用拉氏方程推导质点在球坐标系下的运动。,例：,解：,在球坐标系下线元可写成,广义力为,.,36,代入基本形式的拉氏方程,得,即,.,37,2.4.2广义势与耗散函数,1.广义势和陀螺力,对于拉氏方程来说，保守系的条件太强了。,对完整系，只要存在函数，使,则总可定义拉氏函数,使拉氏方程得到满足,这样的函数称为广义势或速度相关势。,此时，广义动量的定义应推广为：,什么系统会满足以上条件？,可以证明，如果在笛卡尔坐标系下，力可以写成,则广义力也可用广义势表出。,.,38,2.5运动积分,2.5.1循环积分,如果体系的拉氏函数L不显含某一广义坐标，则,我们称为循环坐标，或可遗坐标。,对于保守系或具有广义势的系统,与循环坐标相对应的广义动量守恒，,这种与循环坐标对应的运动积分称为循环积分。,若取为质点的直角坐标，则,为相应的动量分量。,若为循环坐标，则动量分量守恒。,举例：,.,39,2.5.2能量积分,将拉氏函数对时间求微商，,定义哈密顿函数：,对t求导，可得,如果拉氏函数不显含t，则哈密顿函数守恒,该运动积分称为广义能量积分。,接下来讨论哈密顿函数的物理意义,.,40,对于完整保守系，由速度,可得动能,记,.,41,如果势能不依赖于速度，则,若约束为稳定约束，则位矢不显含t,则可得，故,故H可称为广义能量。对稳定约束，它等于体系的机械能。,.,42,质量为m的弹簧振子置于光滑