数列的基本性质和常用结论

数列的基本性质和常用结论一、等差数列1.等差数列的判定方法（1）用定义：对任意的n，都有（d为常数）为等差数列（定义法）（2）（n）为等差数列（等差中项）(3) =pn+q (p， q为常数且p0)（即为关于n的一次函数） 为等差数列(4) (p， q为常数)（即为关于n的不含常数项的二次函数） 为等差数列2.常用性质(1) 若数列，为等差数列，则数列，(k， b为非零常数)均为等差数列.(2) 对任何m，n，在等差数列中，有，特别的，当m=1时，便得到等差数列的通项公式。另外可得公差d=，或d=(3) 若m+n=p+q (m，n，p，q)，则=.特别的，当n+m=2k时，得=(4) 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。(5) 在等差数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：，仍为公差为3d的等差数列)(6) 如果是等差数列，公差为d，那么，也是等差数列，其公差为.(7) 若数列为等差数列，则记，则，仍成等差数列，且公差为d3.等差数列前n项和公式：4.等差数列前n项和常用的基本性质：（1）在等差数列中，当项数为2n (n)时，(即中间两项之比)， 当项数为2n +1(n)时，(即奇偶项数之比)(2).若等差数列，的前n项和为(n为奇数)，则(3)在等差数列中.=a，则，特别地， 当时， 当=m，=n时(4) 若为等差数列的前n项和，则数列也为等差数列.(5) 记等差数列的前n项和为：若0，公差d0，则当时，则有最大值；若0，则当时，则有最小值。求最值的方法也可先求出，再用配方法求解。二、等比数列1.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n，都有(q0) 为等比数列（定义法） （2）（0）为等比数列（等比中项）(3) 若数列通项公式为：为等比数列（通项公式法）2.常用性质(1).若数列，为等比数列，则数列， (k为非零常数) 均为等比数列.(2) 对任何m，n，在等比数列中，有，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.(3) 若m+n=p+q (m， n， p， q)，则=.特别的，当n+m=2k时，得=(4) 是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积，即。(5) 在等比数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为 (例如：，仍为公比的等比数列)(6) 如果是等比数列，公比为q，那么，也是等比数列，其公比为(8) ，当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当q0时，该数列为摆动数列。3.等比数列前n项和公式： .等比数列前n项和常用的基本性质：(1) 在等比数列中，当项数为2n (n)时，.(2) 若数列为等差数列，则记，则，仍成等比数列，且公差为三、通项公式的求法(1)观察法：各项的规律明显，对分式分别看分子和分母的规律。(2)公式法：利用等差数列或等比数列的通项公式.利用与的关系: 特别注意：该公式对一切数列都成立。(3)累加法：(4)累乘法：四、数列前n项和的求法(1) 公式法：直接利用等差或等比数列求和公式