曲边梯形面积与定积分ppt课件

.,1,曲边梯形的面积与定积分,.,2,一.定积分的实际背景,1.曲边梯形的概念,(1).图中的阴影部分类似于一个梯形，但其中一边是曲线y=f(x)的一段.(2).由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.,还记得“梯形”的面积公式吗？怎么求“曲边梯形”的面积呢？,.,3,一.定积分的实际背景,1.求曲边梯形的面积,【提示】“曲边图形”与“直边图形”有着密切的联系；它们的主要区别在于前者有一条边是曲线段，而后者各边均为直线段；(1).如果可以用适当的直线段代替图中的曲线段以直代曲，就可以近似地求出曲边梯形的面积；(2).怎样“以直代曲”才能使所求的面积比较精确地表示曲边梯形的面积呢？,.,4,实验说明：在点P附近我们可以用这条直线l来代替的曲线；也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线；即在很小范围内“以直代曲”可以提高精确度.,放大,再放大,一.定积分的实际背景,1.求曲边梯形的面积,观察下面的实验,为实现“以直代曲”将区间a,b分割成若干个非常小的区间,.,5,y=f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A,一.定积分的实际背景,1.求曲边梯形的面积,差距巨大,.,6,用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得,一.定积分的实际背景,1.求曲边梯形的面积,差距很大,.,7,AA1+A2+A3+A4,用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得,一.定积分的实际背景,1.求曲边梯形的面积,差距较大,.,8,将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为,AA1+A2+An,当n无限增大时，以直代曲无限逼近,一.定积分的实际背景,1.求曲边梯形的面积,比较接近,.,9,一.定积分的实际背景,1.求曲边梯形的面积,例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区域的面积.,(1)分割将区间0,1等分为n个小区间，每个小区间的长度均为，记作；,(2)近似替代过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，再以小区间的左端点的纵坐标为高，x为底作n个小矩形，用这些小矩形的面积近似地替代相应的曲边梯形的面积；,(3)求和所有小矩形面积之和等于：,(4)取极限所有小矩形面积之和等于：,基本步骤总结,.,10,一.定积分的实际背景,2.求变力所做的功,例2.弹簧在拉伸过程中，力与弹簧的伸长量成正比，即F(x)=kx(k是常数，x是伸长量).求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.,.,11,二.定积分的概念,1.概念,.,12,二.定积分的概念,2.关于定积分概念的几点说明,(1)f(x)叫做被积函数；a、b分别叫做定积分的下限、上限；x叫做积分变量；f(x)dx叫做被积式；a,b叫做积分区间.(2)如果f(x)在a,b上的定积分存在，则称f(x)在a,b上可积；(3)a,bD(D为f(x)的定义域)；,(4)定积分是一个常数，只与f(x)和a,b有关；,(5)各小区间的长度xi可以不相等.,3.用定义求定积分的基本步骤,分割；近似替代；求和；取极限.(化整为零）(以直代曲)(积零为整)(使近似变精确),.,13,三.定积分的性质和运算法则,(设f(x)是连续函数),.,