运输问题表上作业法

.,1,7.4表上作业法,一、表上作业法迭代步骤1按某种规则找出一个初始基可行解；2对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤；3在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行解，再按第二步进行判别，直至找出最优解。,.,2,图1运输问题求解思路图,.,3,二、初始基本可行解的确定,例2：甲、乙两个煤矿供应A、B、C三个城市用煤，各煤矿产量及各城市需煤量、各煤矿到各城市的运输单价见表所示，求使总运输费用最少的调运方案。,.,4,例题有关信息表,.,5,例题数学模型,.,6,（1）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大顺序填数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得到一个基本可行解。,.,7,用最小元素法确定初始调运方案,150,100,100,100,100,100,100,.,8,得到初始调运方案为：x11=100，x13=100，x22=150，x23=100,.,9,（2）西北角法不是优先考虑具有最小单位运价的供销业务，而是优先满足运输表中西北角（左上角）上空格的供销要求,.,10,用西北角法确定初始调运方案,100,100,100,50,50,200,200,.,11,得到初始调运方案为：x11=100，x12=100，x22=50，x23=200,.,12,三、最优性检验,根据最小元素法或西北角法求得运输问题的初始基可行解之后，按照表上作业法的第二步，下面需对这个解进行最优性判别，看它是否为本运输问题的最优解.,.,13,、闭回路法,思路：要判定运输问题的初始基可行解是否为最优解，可仿照一般单纯形法，检验这个解的各非基变量（对应于运输表中的空格）的检验数。检验数：运输问题中非基变量（对应于空格）的检验数定义为给某空格增加单位运量导致总费用的增加量。如果有某空格（i、Bj）的检验数为负，说明将Xij变为基变量将使运输费用减少，故当前这个解不是最优解。若所有空格的检验数全为非负，则不管怎样变换，均不能使运输费用降低，即目标函数值已无法改进，这个解就是最优解。,.,14,闭回路：在给出的调运方案的运输表上，从一个空格（非基变量）出发，沿水平或垂直方向前进，只有碰到代表基变量的数字格才能向左或向右转90继续前进，直至最终回到初始空格而形成的一条回路。从每一空格出发，一定可以找到一条且只存在唯一一条闭回路。,.,15,以xij空格为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上的每个折点依次编号；非基变量xij的检验数：,现在，在用最小元素法确定例2初始调运方案的基础上，计算非基变量X12的检验数：,.,16,初始调运方案中以X12(X21)为起点的闭回路,.,17,非基变量X12的检验数：,非基变量X21的检验数：,=（c12+c23）-（c13+c22）=70+75-（100+65）=-20，,=（c21+c13）-（c11+c23）=80+100-（90+75）=15。,经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非基变量增加一个单位运量而成为基变量时目标函数值的变化量。,.,18,2、对偶变量法（位势法）,检验数公式：分别表示前m个约束等式对应的对偶变量；分别表示后n个约束等式对应的对偶变量。,.,19,初始调运方案对偶变量对应表,.,20,以初始调运方案为例，设置对偶变量和，然后构造下面的方程组：,.,21,在式中，令u1=0，则可解得v1=90，v3=100，u2=-25，v2=90，于是12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-2021=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15与前面用闭回路法求得的结果相同。,.,22,方程组的特点：方程个数是m+n-1=2+3-1=4个，对偶变量共有m+n=2+3=5。初始方案的每一个基变量xij对应一个方程-所在行和列对应的对偶变量之和等于该基变量对应的运距（或运价）：ui+vj=cij；方程组恰有一个自由变量，可以证明方程组中任意一个变量均可取作自由变量。这个时候方程的解可以称为位势。,.,23,在式中，令u1=0，则可解得v1=90，v3=100，u2=-25，v2=90，于是12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-2021=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15与前面用闭回路法求得的结果相同。,.,24,位势法计算非基变量xij检验数的公式ij=cij-（ui+vj）,复习比较检验数计算的两种方法,思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问题的对偶问题）,.,25,四、解的改进,如检验出初始解不是最优解，即某非基变量检验数为负，说明将这个非基变量变为基变量时运费会下降。根据表上作业法的第三步，需对初始方案进行改进。,.,26,（一）解改进的步骤为：,1（如存在多个非基变量的检验数为负时，以最小负检验数所在空格对应的变量）为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；2以这个空格为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上的每个折点依次编号；,.,27,解的改进步骤续：,3在闭回路的所有偶数折点中，找出运输量最小的一个折点，以该格中的变量为换出变量；4将闭回路上所有奇数折点的运输量都增加这一换出变量值，所有偶数折点处的运输量都减去这一数值，最终得出一个新的运输方案。对得出的新方案再进行最优性检验，如不是最优解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到得出最优解为止。,.,28,因12=-20，画出以x12为起始变量的闭回路,0,200,50,100,.,29,计算调整量：=Min（100，150）=100。按照下面的方法调整调运量：闭回路上，奇数次顶点的调运量加上，偶数次顶点的调运量减去；闭回路之外的变量调运量不变。,得到新的调运方案：,.,30,重复上面的步骤，直至求出最优调运方案：,.,31,.,32,结果最优调运方案是：x11=50，x12=150，x21=50，x23=200相应的最小总运输费用为：Zmin=9050+70150+8050+75200=34000,.,33,课堂练习：,.,34,五、几点说明,（1）、若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代中。通常取中最小者对应的变量为换入变量；（2）、当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的检验数等于0，则说明该运输问题有多重最优解；,.,35,（3）当运输问题某部分产地的产量和，与某部分销