泰勒定理及其在数值分析中的应用

摘 要因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。关键词：泰勒公式；数值分析；应用ABSTRACT Because of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary differential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things, the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential equation application, from using Taylors formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex problems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple. Key words: Taylor formula; numerical analysis; application目 录1 引言12 泰勒公式概述22.1 一元函数的泰勒公式22.2 二元函数的泰勒公式33泰勒公式在数值分析中的应用53.1利用泰勒公式近似计算函数值53.2 利用泰勒公式近似计算导数值83.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用93.4 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用134 结论16参考文献171 引言因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。泰勒公式是由英国数学家泰勒发明的。当人们在解决解学数学问题时，经常会遇到非常复杂的函数，而泰勒公式就具有化繁为简的功能，将那些复杂的函数转化为较为简单的多项式，这样，复杂函数就迎刃而解了。这就给处理问题提供了有效而又方便快速的解决方案。然而泰勒逼近存在严重的缺陷：它的条件很苛刻，要求足够光滑并提供出它的各阶导数值，此外。泰勒逼近的整体效果差。它仅能保证在展开点的某个邻域内，即某个局部范围内有效。基于此本文章应用泰勒公式阐述其在计算行列式，求代数精度，常微分方程数值方法等几个方面的应用。进一步完善泰勒公式在数值分析中的应用。2 泰勒公式概述2.1 一元函数的泰勒公式设在含有的开区间内有直到阶导数，为已知，现寻求一个次的代数多项式，使得，能否用近似代替？设，则有：由故所求的代数多项式为此多项式称为函数在处的阶泰勒多项式。设，称其为误差函数。显然，从而有，上式称为函数关于的阶泰勒公式，其中余项称为拉格朗日余项。当时，即，这正是拉格朗日公式。当时，称为函数的阶麦克劳林公式，其中。若设在含有的某个开区间内有直到阶导数，且在内有界，那么对，有其中称为佩亚诺型余项。常见的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式有以下几种:2.2 二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数。应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式。为了将二元函数在点的函数值在点展成泰勒公式，作辅助函数 即 显然，于是，函数在点展成的泰勒公式就是一元函数在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在的值。若函数在点的邻域G存在n+1阶连续的偏导数，则，有 其中符号表示偏导数在的值， . 上式称为二元函数在的泰勒公式。3泰勒公式在数值分析中的应用3.1利用泰勒公式近似计算函数值泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数相联系起来。例1 设函数在上存在二阶导数,并且当时,有,证明：, .证明 对 ,由泰勒公式, 将在展开为： 将在展开为： 两式相减得 从而有 所以 .有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。例2 求的近似值解 令 ,则 所以 从而由公式（4） 1+ 故 从而 = 误差 其次，泰勒公式在数值积分中的应用中，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。设为的原函数，由牛顿莱布尼兹公式知，对定义在区间上的定积分，有：但是，并不是区间上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数、等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。例4 计算定积分的近似值解 因为 所以 因此=由此式得到 此时误差 3.2 利用泰勒公式近似计算导数值如果泰勒公式已知，其通项中的加项的系数正是，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导。例5：求函数在处的高阶导数。解：设，则：，在的泰勒公式为：从而：而中的泰勒展开式中含的项应为，从的展开式知的项为，因此：，例6：求在处的阶导数。解：由泰勒公式及由中项的系数为3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用用解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定和初值的联立方程： 给出初值我们用如下形式表示一个和的联立方程组： (1)求方程组(1)通过点的特解,其中已知.我们设想用一种逼近计算求出在下列各点处的近似值,其中为轴上选取的恰当步长.现在,设在处,已求出的近似值,且表为由泰勒公式可知： (2)令,即可得出计算值的公式 (3)其中 当给定了初值条件时,由方程(3),令,则得出： 其中,在取近似值时的保留项数,取决于步长及所需的精确度.当求出,后,再令,可求出,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.为了说明以上方法,下面举个简单例子.例7 求： 的解,其初始条件为,处,.解 首先,我们可选定步长,并依次计算等处的近似值,由逐次求导得出, , ,因此在处,有;令,则方程组(8)给出 = =接着在处,有令,由方程（3）： 2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+2.4214 . 2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+2.4214这个过程可以根据需要不断地重复进行。例8 证明对任意参数,下列Runge-Kutta格式是二阶的证明 因为 所以 把在处泰勒展开得：= (9) (10)将 (9) (10)带入泰勒展开式得求在处的泰勒展开 将代入中得 将与泰勒展开做比较得则知上述Runge-Kutta格式是二阶的.应当指出，应用该方法从形式上看似简单，但具体构造这种格式往往是相当困难的，因为它需要先提供的各阶导数值。当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此该方法不直接使用，但是可以用它来启发思路。3.4 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用我们利用泰勒公式对函数极值的判定，可以相似地推出函数拐点的判定，比用点两边区间的二阶导数符号来判定显得简单易行，且有更广泛的结论.例9 （定理）若在某个内阶可导，且满足，且若：当为奇数，则为拐点；当为偶数,则不是拐点.证明:写出在处的泰勒公式，因为，则，同样余项是的的高阶无穷小,所以的符号在内与相同。当为奇数时,显然在的两边，符号相异,即的符号相异, 所以 为拐点。当为偶数时,则的符号相同,所以不是拐点。 证毕例10：1、判定是否是的拐点? 2、判定是否是的拐点?解：1、因为为偶数，所以不是的拐点。2、因为为奇数，所以是的拐点。从上述例看到,要判别左、右两边的符号不易,但用本命题则非常容易。4 结论本文主要从泰勒定理的有关背景出发，在对泰勒定理的一元及二元形式进行概述的基础上，分析了泰勒定理在数值分析中的应用。可以肯定的是，泰勒定理的研究，是一个具有前瞻性与现实意义的研究课题，也是学术的研究热点，由此本论文的提出和研究具有较强的理论意义和实践意义。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结, 就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。同时，由于本人的阅历和学识有限，可能还不足够透彻分析某些观点，文章可能会缺乏一定的深度。下一步的将会在如何应用泰勒公式应用于实践等方面做更深一步的研究，争取分析、解决问题更加专业化，更加全面。参考文献1 大学数学名师导学丛书编写组编,杨万利编写.数学分析名师导学M.中国水利水电出版社, 2005 2 裘兆泰等编.数学分析学习指导M.科学出版社, 2004 3 陈纪修等编著.数学分析M. 高等教育出版社, 2004 4 李文荣著.分析中的问题研究M. 中国工人出版社, 2002 5 裴礼文编著.数学分析中的典型问题与方法M. 高等教育出版社, 1993 6 于祥芬,李莹.泰勒公式的几点应用J. 科教文汇(上旬刊). 2011(02) 7 鲍培文.泰勒公式与泰勒级数的异同和典型应用J. 怀化学院学报. 2011(02) 8 汪俭彬,黄瑞芳.泰勒公式在解决典型问题方面的应用研究J. 焦作师范高等专科学校学报. 2011(02) 9 孔珊珊.泰勒公式在数值计算中的应用J. 济宁学院学报. 2011(03) 10 赵中,张秀全.泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用J.天中学刊. 2011(02) 11 牛旭.泰勒公式在求函数极限中的应用J. 大众科技. 2011(10) 12 潘劲松.泰勒公式的证明及应用J. 廊坊师范学院学报(自然科学版). 2010(02) 13 高春香.泰勒公式及其应用J. 科技信息. 2010(32) 14 王静,方晓峰,于宁莉.泰勒公式的“探究式”教学J. 高等数学研究. 2012(05) 15 李阳,郝佳.微分中值定理的延伸及应用J. 辽宁师专学报