机械制造中的CADch03

教案：CAD/CAM-2008第3章 曲线曲面的表示本章学习三次样条曲线、Bezier曲线及B-样条曲线等的数学表示及其性质，讨论如何生成、控制这些曲线。最后简要讨论曲面的表示。3.0 曲线曲面及其表示分类：规则曲线/曲面：可用解析方程表示的自由曲线/曲面：由给定的离散点通过拟合或插值得到的。表示：非参数方程表示 显式 隐式参数方程表示3.1 样条曲线3.1.1三次样条函数的力学背景工程中，如飞机、船舶工业在几何外形的数学放样时，经常会遇到这样的问题：在平面上给定一组离散的有序点列，要画一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。设计员在进行这项工作时，通常使用一根称为“样条”的富有弹性的木条或有机玻璃条。在每一型值点处用“压铁”压住，使样条依次经过这些型值点，然后沿着样条面出一根光滑的曲线。如果把样条看成弹性细粱，压铁看成是作用在梁上的集中载荷，那么用上述方法得到的曲线在力学上可以模拟为求弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。在“小挠度”的情况下，变形曲线的数学表示为分段三次多项式，它是二阶连续的三次光滑曲线。3.1.2 三次样条函数的数学定义设在区间a,b上给定一个分割：a=x0x12）个控制点则可定义(n-2)段二次B-样条曲线。由三个控制点P0、P1和P2确定的一段二次均匀B-样条曲线定义如下： (0=u=1) （式3-7）一阶导数端点性质 四个控制点P0、P1、P2和P3可定义二段二次B-样条曲线。其中P0、P1、P2和P1、P2、P3各生成一段曲线 （式3-8）其中考察P(u)的连续性。（1）连续性，故（2）一阶导数的连续性，故3.4.2三次均匀B-样条曲线(Cubic uniform B-spline)由四个控制点P0、P1、P2和P3可确定一段三次均匀B-样条曲线： （式3-9）关于u的各阶导数端点性质：3.2.3 B样条函数一般表达式 （式3-10）其中基函数Bk,d(u) 是u的d-1次多项式，用Cox-deBoor recursion formulas定义如下： （式3-11）(k=0,1,n+d-1)基函数之和等于1，即 （式3-10）Bk,d(u)是以u0、u1、u2、.、un+d为节点的分段函数，B-样条函数也是分段函数。的基函数如下：由此可见，定义B-样条函数的参数包括：(1) n+1个控制点P0 、P1、 P2Pn；(2) 曲线阶次d-1；(3) 由(n+d+1)个u节点组成的节点矢量。B-样条曲线按节点矢量中节点的分布情况不同，可划分为均匀B-样条曲线、准均匀B-样条曲线、一般非均匀B-样条曲线等几种类型。(1) 均匀B-样条曲线(uniform B-spline curve)。节点矢量中节点为沿参数轴等间隔分布，即 ()。例如，四个控制点的二次均匀B-样条（n=3，d=3）的节点矢量-2,-1,0,1,2,3,4，基函数B-样条函数定义于0,2：和式（3-8）相同。(2) 准均匀B-样条曲线(quasi-unform B-spline curve)。节点矢量中首尾节点重复d次，其余节点等间隔分布。即，例如，三个控制点的二次准均匀B-样条（n=2，d=3）的节点矢量取0,0,0,1,1,1，基函数在 0,1有定义所以，样条曲线 （）这是一条二次Bezier曲线！事实上，Bezier曲线是特殊的B-样条： d=n+1的准均匀B-样条就是n次Bezier曲线。准均匀B-样条的端点性质类似于Bezier样条，而无它的缺点，所以应用十分广泛。 (3) 一般非均匀B-样条曲线(genernal uniform B-spline)。节点非递减任意分布。3.2.4 B-样条函数的特点(1) 多项式的次数可以独立设定，和控制多边形的顶点数无关。(2) 具有局部修改性。B-样条是分段函数，每一段(d-1)次曲线由d个连续的控制点定义。也就是说，移动一个控制点，至多影响d段曲线。(3) 基函数依赖于节点矢量的选取。当d和控制顶点决定后，节点矢量取法不同，曲线形状也会不同，这样就增加了灵活性。Bezier曲线是一种特殊的B-样条。3.5 非均匀有理B-样条曲线(NURBS)虽然B-样条方法等自由型曲线有很多优点，却无法精确地表示除抛物线以外的其它二次曲线（二次曲线是指圆弧、椭圆弧、抛物线弧和双曲线等圆锥曲线）。这就给几何外型的数学描述带来不便。所以有必要引入一套包容性更大的曲线描述方法。分子和分母各为多项式的分式可以精确表示二次曲线。如 （） （式3-13）表示单位圆在第一象限的圆弧。这种用分式表示的样条函数称为有理样条。一条(d-1)次的非均匀有理B-样条曲线(NURBS，Non-Uniform Rational B-Spline)定义如下： （式3-14）其中（k=0,1,n）称为权或权因子(weights)，分别与控制顶点Pk相联系；Bk,d(u)是B-样条的基函数。定义NURBS的参数包括：(1) n+1个控制点P0 、P1、 P2Pn；(2) 曲线阶次d-1；(3) 由(n+d+1)个u节点组成的节点矢量；(4) n+1个控制点的权w0 、w1、 w2wn例如，式（3-13）表示的圆弧可表示成用以下参数定义的NURBS：(1) 3个控制点P0 (1,0)、P1(1,1)、 P2(0,1)；(2) 曲线阶次为2，即d=3；(3)节点矢量0,0,0,1,1,1；(4) 3个控制点的权1 、和1。当w0 =w1=w2=wn=1时，由于，所以这说明：权为1时，NURBS是B-样条。如果用齐次坐标表示P(u)、Pk，并用wk作为Pk的第三项（对于2D曲线），即P(u) =(x (u) y (u)：(xh(u), yh(u), h(u)Pk =(x k yk)： (xwk , ywk, wk )那么式（3-14）分别表达为令则这说明：齐次坐标下的NURBS具有一般B-样条的数学形式。3.6比较3.6.1 Hermite、Bezier、 B样条曲线的比较 在要求过型值点拟合曲线时，三次参数样条，待别是以累计弦长为参数的三次样条应用较广，插值效果较好，计算可靠。 Bezier曲线直观性好，动态改变形状容易。 B样条曲线更逼近于控制多边形，局部修改形状容易。3.6.2 NURBS优点 对标准的解析形状(如圆锥曲线、二次曲面、回转面等)和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，无论是解析形状还是自由格式的形状均有统一的表示参数，便于工程数据库的存取相应用。 可通过控制点和权因子来灵活地改变形状。 容易处理节点的增删、移动、曲线分割、几何插值等的几何操作。 具有透视投影变换和仿射变换的不变性。3D的NURBS的透视投影可以通过以下操作得到：第一步对曲线的控制点作透视投影变换，第二步根据变换后的控制点生成所要求的曲线。 非有理B样条、有理及非有理Bezier曲线、曲面是NUBS的特例表示3.6.3 NURBS缺点： 比一般的曲线、曲面定义需要更多的存储空间和处理时间。 权因子选择不当会造成形状畸变。3.7样条曲面3.7.1曲面的表示显式隐式参数式矢量式例如，平面：隐式参数式矢量式双三次曲面的参数方程一般描述为其中A是4*4系数矩阵。3.7.1 Coons曲面Coons 曲面是Hermite曲线的拓展，是插值型曲面。方程其中表示边界信息。设计Coons曲面时，需要用到切矢，而且还要用到扭矢，这不直观，而且难于控制，因此Coons曲面的应用受到限制。3.7.1 Bezier曲面Bezier曲面是Bezier曲线的3D拓展，属于自由曲面。(m+1)*(n+1)个控制点Pij构成的网络定义曲面，方程为双三次Bezier曲面简记为P是由空间16个控制点组在的几何矩阵，即空间控制网格。控制网格的四个角点与曲面的四个角点重合，其余控制点都不在曲面上。3.7.2 B-样条曲面双三次均匀B-样条曲面：其中P是由空间16个控制点组在的几何矩阵，即空间控制网格；习题：1. 已知一三次样条曲线经过以下4个点(1.0,2.0),、(2.5,2.5)、(4.0