极坐标与参数方程讲义(教师版)

极坐标与参数方程 一、极坐标知识点1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.3.常见圆与直线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。 解：两点的直角坐标为它们之间的距离.由于直线垂直于极轴，且距离极点，所以直线的极坐标方程为练习1.1、已知曲线的极坐标方程分别为，求曲线与交点的极坐标 解：我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。12. 已知圆C：，则圆心C的极坐标为_答案：（ ）练习1.3已知点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）； 考点2、极坐标与直角坐标方程互化 例题2、已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数），点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求|的最小值解：曲线的极坐标方程可化为, 其直角坐标方程为，即. （3分） 直线的方程为.所以圆心到直线的距离 （6分） 所以，的最小值为. （10分）练习2.1、设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1) 求圆C的极坐标方程；(2) 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆的极坐标方程为4分设点的极坐标为，点的极坐标为，点为线段的中点， ， 7分 将，代入圆的极坐标方程，得点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆 10分练习2.2（2015理数）(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线:x2，圆：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I） 求，的极坐标方程；（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求C2MN的面积 （23）解：（I）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 5分 （II）将代入，得，解得，。故，即。 由于的半径为1，所以的面积为。 10分二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程（了解）以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，0；当点在下方时，0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。考点3、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为 （1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解：（1）由得曲线的普通方程为 ，即曲线的直角坐标方程为（分）（2）圆的圆心为，圆的圆心为两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 公共弦长为（10分） 练习3.1（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程.已知曲线C：为参数，02)，（）将曲线化为普通方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程（） 5分（） 10分练习3.2已知曲线C1：，曲线C2：。（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。练习3.3(2014II)（23）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.（1）求得参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.（23）解： （I）C的普通方程为. 可得C的参数方程为（t为参数，） （）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同, . 故D的直角坐标为，即。练习3.4（2013）（23）（本小题10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与C2交点的极坐标（0,02）。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.【解析】将消去参数，化为普通方程，即：，将代入得，的极坐标方程为；（）的普通方程为，由解得或，与的交点的极坐标分别为（），.练习3.5(2015II)23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（）.求与交点的直角坐标；（）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值【答案】（）和；（）解：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值考点4：利用参数方程求求值域例题4、在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线C2化成普通方程是x+y-2-1=02分设所求的点为P（1+cos,sin),3分则C到直线C2的距离d=5分 =|sin(+)+2|7分当时，即=时，d取最小值19分此时，点P的坐标是（1-，-）10分练习4.1.在平面直角坐标系xOy中，动圆的圆心为 ，求的取值范围. 【解】由题设得（为参数）. 3分于是， 6分所以 . 10分练习4.2（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数） （）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程； （）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.答案：（本小题满分10分）解：（1）曲线的极坐标方程可化为： 又 .所以，曲线的直角坐标方程为：. （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得： 令 得 即点的坐标为 又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则 练习4.3（2014理数）3. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】：.() 曲线C的参数方程为： （为参数）， 直线l的普通方程为： 5分 （）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到的距离为，则+-，其中为锐角且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 10分考点5：直线参数方程中的参数的几何意义考点易错点二：直线参数方程中的几何意义的应用 表示直线上任意一点到定点的距离.直线参数方程（为参数），椭圆方程，相交于两点，直线上定点将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，则： 若为的中点，则 例题5：已知