3.1.4概率的加法公式

3.1.4概率的加法公式,凌源中学授课教师：王秀梅,温故知新,频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为_，将频率近似的看成概率，则事件A发生的概率为_.,预习初探,导引抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设事件A=“点数为奇数”，事件B=“点数为2”，,问题1：事件A和事件B能不能同时发生？,问题2：事件A和事件B这两个事件叫做什么事件？,答：互斥事件,问题3：怎样定义互斥事件？,互：相互；斥：排斥,你还能举出一些生活其他例子吗？,定义2(等价定义)：,在同一试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称为互不相容事件).,事件A，B含有的基本事件组成的集合分别为A，B.若AB=，则称事件A，B为互斥事件.,集合角度理解,预习初探,2、从19这九个数字中任意取两个数,分别有下列事件:恰有一个是奇数和恰有一个是偶数;至少有一个是奇数和两个数都是奇数;至少有一个是奇数和两个数都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.以上事件中是互斥事件的是()A.B.C.D.,C,初体验,答：是互斥事件,1、把红、黑、蓝、白4张纸随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件A=“甲分得红牌”与事件B=“乙分得红牌”是不是互斥事件？,导引抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设事件A=“点数为奇数”，事件B=“点数为2”，事件C=“出现奇数点或2点”。,深入探索,问题4：事件C是不是随机事件，若把A、B、C都看作集合，则事件C与事件A、B有怎样的关系？,答：事件C也是随机事件。若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A、B中至少有一个发生，所以从集合的观点可以看出集合C是集合A、B的并集。,CAB,集合角度理解,事件AB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合.,深入探索,导引抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3”(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”,事件AB发生的意义:事件A和事件B中至少有一个发生。,当A与B互斥时,AB事件指“A发生B不发生”和“A不发生B发生”。,（1）是，AB=“点数为2或3”;,上面的事件A与事件B是互斥事件吗？写出每组事件的并.,（2）是，AB=“点数为奇数或4”;,（3）是，AB=“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体;,（4）不是，AB=“点数超过3”即事件B.,【尝试解答】,再体验,对导引中（1）、（2）、（3）中每一对事件,完成下表,导引抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3”(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”,问题6同时根据你的结果,你发现两个事件概率的和与两个事件的并的概率有什么样大小关系?,P(AB)=P(A)+P(B),解疑,研讨发现,（1）AB=“点数为2或3”,（2）AB=“点数为奇数或4”,（3）AB=“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体,P(A)+P(B)P(AB),事件A、B不互斥,导引抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”,对导引中（4）的事件,完成下表,（4）AB=“点数为5或点数超过3”即事件B,研讨发现,问题8尝试总结一下什么样的事件才满足P(AB)=P(A)+P(B)？,【尝试解疑】,抽象概括,假定A、B为互斥事件,在n次试验中,事件A出现的频数为n1,事件B出现的频数为n2。,由概率的统计定义可知,P(AB)P(A)P(B).,如果用n(A)表示在n次试验中事件A出现的频率,则有n(AB)n(A)n(B),理论证明,问题9一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件A1A2An发生（即A1,A2，An中至少有一个发生）的概率，与这n个事件分别生的概率和之间的大小关系？,P（A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),猜想拓展,例1（1）P(A)=0.1，P(B)=0.2，则,P(AB)=（）,A、0.3B、0.2C、0.1D、不确定,（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.31，则乙不输的概率是,D,解答0.81,微体验,微体验,例2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率和小明及格的概率,解:根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B“考试成绩在90分以上”，C“考试成绩在8089分”，D“考试成绩在7079分”，E“考试成绩在6069分”，A“考试成绩在80分以上”,由互斥事件的概率加法公式可知P(A)P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.,由互斥事件的概率加法公式应有P(F)P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.,问题10在导引（3）中，则事件A与事件B能不能同时发生，或者都不发生？为什么？,导引抛掷一枚骰子一次，观察掷出的点数，设(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”,事件A与事件B是互斥事件，所以不可能同时发生，掷一次骰子的点数要么超过3，要么不超过3，事件A与事件B中必有一个发生。,在(3)中,我们发现有P(AB)=P(A)+P(B)=1,事件A和B互斥,概率为1,说明事件AB必然事件,即A和B中必有一个发生.,【尝试解疑】,研讨发现,问题11我们把问题10中的事件A、B称为对立事件，根据你的理解，你能否给对立事件下个定义？,集合角度理解,不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做对立事件。事件A的对立事件记为事件,延伸探究,事件A=，A是基本事件空间,若事件A的对立事件为，则，下面我们共同证明这个公式。,=1-P(A),延伸探究,即=1-P(A),例3判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张）中，任取一张，()“抽出红桃”与“抽出黑桃”；()“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；()“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.,()是互斥事件，不是对立事件；()既是互斥事件，又是对立事件；()不是互斥事件，当然不是对立事件.,【尝试解答】,微体验,例4判断(正确的打“”，错误的打“”)（1）互斥事件一定对立。（）（2）对立事件一定互斥。（）（3）互斥事件不一定对立。（）（4）事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率。（）（5）事件A与B互斥，则有P(A)=1-P(B)。（）（6）若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件。（）,总结：(1)互斥不一定对立.,对立一定互斥。(2)A与B对立，概率和为1；概率和为1，A、B不一定对立。,微体验,微体验,例5某战士射击一次，问：(1)若事件A=“中靶”的概率为0.95，则的概率为多少？(2)若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少？(3)事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？,解(1)因为事件A与互为对立事件，P()=1-P(A)=1-0.95=0.05;,(2)事件B与事件C也是互为对立事件，所以P(C)=1-P(B)=0.3;,(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)=P(C)-P()=0.3-0.05=0.25.,1从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有1个黑球与都是黑球B至少有1个黑球与至少有1个红球C恰有1个黑球与恰有2个黑球D至少有1个黑球与都是红球,当堂评价,2.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为_.,3A、B为互斥事件，P(A)0.3，P(AB)0.6，则P(B)_.,4、据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：,当堂评价,答案1、C;2、0.65;3、0.3；4、（1）0.56；（2）0.74,2、【解析】中奖的概率为0.10.250.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为10.350.65.,3、【解析】由互斥事件的概率加法公式知P(B)P(AB)P(A)0.60.30.3.,当堂评价,1、解析当“两个球都是黑球”发生时，事件A“至少有一个黑球”也同时发生；当B“恰有一个红球、一个黑球”发生时，“至少有一个红球”与A都发生了；A发生时，“都是红球”不发生；A不发生时，“都是红球”发生；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不会同时发生，当“都是红球”发生时，它们都不发生故选C.,记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A,B，C两两互斥(1)至多2人排队等候的概率是P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.,【自主解答】,(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(AB)P(A)P(B)0.10.160.26，故至少2人排队等候的概率为10.260.74.,当堂评价,教师总结,1、互斥事件与对立事件判定（1）利用基本概念：互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生。（2）利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B。事件A与B互斥。即集合AB=;事件A与B对立，即集合AB=，且AB=I（全集）。,2、运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果。3、求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将求事件转化成彼此互斥的事件的并（和）；二是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件公式求解。,请同学们自己总结一下这节课合作探究学习的知识,课堂小节,作业：（1）P100练习和习题（2）课后评价,1、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.,课后评价,解析(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报”中可能只订乙报，即有可能不甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥,(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件,(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥,课后评价,解易知A、B、C、D互斥，且EABCD，所以由互斥事件的概率加法公式，得P(E)P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.10.30.40.10.9.,2、某家庭电话在家中有人时，打进的电话，响第1声时被接为事件A，其概率为0.1，响第2声时被接为事件B，其概率为0.3，响第3声时被接为事件C，其概率为0.4，响第4声时被接为事件D，其概率为0.1，那么电话在响前4声内被接为事件E，则事件E的概率是多少？,课后评价,3、某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？,解：记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，（1）故P(AC)=0.4；（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1P(B)=0.8；（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。,课后评价,4、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：（1）求射击1次，至射中10环或7环的概率；（2）求射击1次，命中不足7环的概率.,(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为AB.故P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.,【尝试解答】,课后评价,(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理.设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，P0.210.230.250.280.97，,从而P(E)1P()10.970.03.不够7环的概率