高斯公式与斯托克斯公式_第1页
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8-6高斯公式与斯托克斯公式,格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，高斯公式表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。,定理1(高斯公式),则有,1.高斯公式,记做,，则高斯公式可写成,上式在物理上称为向量通过曲面的通量,即：通过闭曲面的通量，等于其散度在所包围的区域上的三重积分,记,证,对于一般的区域,则可引进辅助面将其分割成,若干个与上类似的小区域,则在每个小区域上式成立.,故上式仍成立.,然后相加,因为在辅助面正反两侧面积分正负抵消,类似可证,三式相加,即得所证Gauss公式：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,使用Guass公式时应注意验证条件:,1.,是取闭曲面的外侧；,.,例1求,其中是球面的外侧.,解,记球面所包围的球体为，由,高斯公式，有,由于球体关于平面对称，且是的奇函数，因此,同理有,于是,例2求曲面积分,其中是锥面中的部分的外侧.,解,取平面,则组成封闭曲面.记围成的区域为，,于是有,因为,所以,由对称性知,又,最后得,定理（斯托克斯公式）,设为分片光滑的双侧曲面，其边界是一条或几条分段光滑的闭曲线,假定在上取定一侧的单位法向量为,再规定,的定向，使得的定向与的指向构成右手系，,记及分别为给定的上述定向后的及，,斯托克斯公式,2.斯托克斯公式,斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面积分与沿S的边界曲线L的曲线积分之间的联系.,注意:,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,如果S是xoy坐标平面上的一块平面区域,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,若记,并定义,称作向量场的旋度.,证,情形1S与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为,为确定起见,不妨设S取上侧(如图).,(利用格林公式),则,因此,同理可证,三式相加,即得斯托克斯公式;,情形2曲面S与平行z轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把S分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,证毕,内容小结,1.高斯公式,2.斯托克斯公式,例4求,解,记所围的球面部分为，并取的上侧为,的方程为,代入第五节中公式（8.10）得,由于关于轴对称，,其中区域,关于的奇函数的部分为.于是,例5求,其中为椭圆周：，从轴正向看去，为逆时针方向.,解记所围的椭圆为，取的上侧，即的法方向与轴成锐角，这时的正向与指定一侧的法向量成右手系.又因是平面，其上各
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