隐函数与参量函数微分法_第1页
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2.4隐函数与参量函数微分法,一、隐函数的导数,定义:由方程F(x,y)=0所确定的函数y=y(x)称为隐函数.y=f(x)形式的函数称为显函数.如果从F(x,y)=0中解得y=f(x),称为隐函数的显化.问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,例2:设x4xy+y4=1,求y在点(0,1)处的值.,例3:,再证反函数的求导法则,设x=(y)为直接函数,y=f(x)为其反函数,y=f(x)可视为由方程x(y)=0确定的一个隐函数.由隐函数求导法则,在方程x=(y)两边对x求导,得,即,二、对数求导法,方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.目的是利用对数的性质简化求导运算.对数求导法,适用范围:1、多个简单函数积商,乘方,开方的情形2、幂指函数u(x)v(x)的情形.,例5:,例6:,例4：,练习:,一般地,对幂指函数f(x)=u(x)v(x)(u(x)0)的情形:,等式两边取对数,得lnf(x)=v(x)lnu(x).两边对x求导得,三、由参数方程所确定的函数的导数,消去参数,得:,参量函数,y=-1(x),问题:消参困难或无法消参如何求导?,则,再设函数x=(t),y=(t)都可导,且(t)0,由复合函数及反函数的求导法则得:,容易漏掉,若设函数x=(t),y=(t)都二阶可导,且(t)0,则,例12:,例13(书后练习):,四、相关变化率,相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,解:设时刻t水深为h(t),水库内水量为V(t),则,上式两边对t求导得,水面上升之速率,例14:河水以8米3/秒的流量流入水库中,水库形状是长为4000米,顶角为120的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米?,(1)会隐函数求导法,注意：y的函数的求导,例15:设函数y=y(x)由方程ey+xy=e所确定,求,(2)会对数求导法,(3)会参数方程求导法,注意：适用的范围,注意：不要漏乘,例16:,课下练习,确定函数,求,设由方程,五、小结,隐函数求导法则:直接对方程两边求导;,对数求导法:对方程(函数)两边取对数,经适当运算后,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导:实质上是利用了复合函数的求导法则;,相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.,思考题,对吗？,思考题解答,不对.,求.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对求导,1.设,思考与练习,求,解：,2.设
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