连续系统的时域分析

2020/5/19,1,第二章连续系统的时域分析,2020/5/19,2,2.1LTI连续系统的响应LTI连续系统的描述：微分方程的建立LTI连续系统的分析：微分方程的求解经典法：自由响应和强迫响应双零法：零输入响应和零状态响应2.2冲激响应和阶跃响应2.3卷积积分2.4卷积积分的性质2.5冲激响应表示的系统特性,本章的主要内容,2020/5/19,3,难点：单位冲激响应的求解；利用卷积积分的性质求系统的零状态响应。,本章的主要内容,2020/5/19,4,系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号，求系统的输出响应,引言,LTI连续时间系统,连续时间信号输出,连续时间信号输入,输入激励信号（t的函数）,输出响应信号（t的函数）,线性常系数微分方程,2020/5/19,5,引言,n阶常系数线性微分方程的求解法,2020/5/19,6,经典法求齐次解和特解建立自由响应和强迫响应概念双零法建立零输入响应和零状态响应概念用卷积积分法求系统的零状态响应双零法是系统分析的基本方法优点：物理概念明确，运算过程方便。是近代计算分析系统的强有力工具，是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，给变换域分析赋予清晰的物理概念。,引言,2020/5/19,7,电路微分方程建立的依据KCL和KVL定律,电容,电感,电阻,引言电路微分方程建立的依据,2020/5/19,8,KCL:,KVL:,引言,描述输入与输出之间关系的微分方程,输入,输出,2020/5/19,9,设系统的激励信号为，响应为，则连续线性时不变(LTI)系统的特性可用一个n阶常系数线性微分方程来描述：,2.1LTI连续系统的响应系统的数学描述,或缩写为：,2020/5/19,10,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,微分方程的经典法解法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由等号右边激励信号的形式确定,2020/5/19,11,齐次方程的求解特征根的求解齐次方程为即特征方程为解得此方程的n个根,称为微分方程的特征根。,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,2020/5/19,12,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,齐次解yh(t)的形式,(1)特征根是不等实根1,2,n,(2)特征根是等实根1=2=n=,(3)特征根是成对共轭复根,2020/5/19,13,对应的齐次解为：,特征根：,因式分解：,其中C1，C2为待定系数，在求得全解后，由初始条件确定。,例：求如下所示的微分方程的齐次解,解：系统的特征方程为,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,2020/5/19,14,特解的求解微分方程的特解yp(t)的函数形式与t0+时，等号右边的激励信号的形式有关。确定特解形式后，代入原微分方程，求出其待定系数。,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,常用激励信号对应的特解形式(有限),2020/5/19,15,例：求给定微分方程的特解,上式对所有的t0成立，故有：,其一、二阶导数分别为：,将它们代入方程：,解得P=Q=1，所以特解为：,解：，故可设方程的特解为：,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,2020/5/19,16,例：求给定微分方程的全解,解：由前两例，可知：,则系统的全响应为：,其一阶导数为：,令t=0，并代入初始条件，得：,2.1.LTI连续系统的响应微分方程的经典解,2020/5/19,17,由上式可解得C1=2，C2=-1：所以全响应为：,2.1.LTI连续系统的响应微分方程的经典解,2020/5/19,18,2.1LTI连续系统的响应自由响应和强迫响应,自由响应：微分方程的齐次解表示系统的自由响应。它是由表示系统特性的特征方程根决定。又称为系统的“固有频率”（或“自由频率”、“自然频率”）。强迫响应：微分方程的特解表示系统的强迫响应，只与t0+时，等号右边的激励信号的形式有关。,2020/5/19,19,若初始条件不变，输入信号发生变化，方程的特解是否变化？齐次解是否变化？,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,2020/5/19,20,2.1LTI连续系统的响应关于0-与0+值,响应区间确定激励信号f(t)加入后系统的状态变化区间。用0-时刻表示0时刻之前瞬间的时刻，0+时刻表示0时刻之后瞬间的时刻。一般激励f(t)都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：,起始状态系统在激励信号加入前瞬间的一组状态,称为系统的起始状态，简称0-状态。系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。起始状态包含了计算未来响应的全部“过去”信息。,2020/5/19,21,初始条件系统在激励信号加入后瞬间的一组状态,称为系统的初始条件，简称0+状态。,2.1LTI连续系统的响应关于0-与0+值,系统完全响应中齐次解的系数由初始条件确定。,初始条件确定：须根据系统的0-状态(易求)和激励信号情况求出系统的0+状态。,2020/5/19,22,经典法求解微分方程的流程,将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统,列写微分方程,由特征根写出齐次解形式（系数待定）,由等号右边的激励信号写出特解形式，代入方程求出系数。,完全解=齐次解（系数待定）+特解,求系数,给定系统状态0-,求出对应状态0+,2.1LTI连续系统的响应,完全解(系统的响应),(冲激函数匹配法),2020/5/19,23,2.1LTI连续系统的响应微分方程的经典解,经典法的缺点：(1)y(0+)的导出比较麻烦；(2)当激励信号形式很复杂或者系统阶次较高时，难以给出特解形式；(3)若激励信号发生变化，需重新求解；(4)无法突出系统响应的物理概念。,2020/5/19,24,2.1LTI连续系统的响应零输入响应与零状态响应,0,f(t),仅与系统的起始状态有关,仅与系统的激励有关,双零法,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,2020/5/19,25,1.零输入响应是输入信号为零，仅由系统的起始状态（起始时刻系统储能）单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式；,再由零输入响应的初始条件确定待定系数。,2.1LTI连续系统的响应零输入响应,2020/5/19,26,解:系统的特征方程为,例已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+5y(t)+6y(t)=4f(t)系统的起始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。,系统的特征根为,yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=K1+K2=1yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=-2K1-3K2=3,解得K1=6，K2=-5,2.1LTI连续系统的响应零输入响应,2020/5/19,27,2.1LTI连续系统的响应零状态响应,求解系统的零状态响应yzs(t)方法：1)直接用经典法求解起始状态为零的微分方程2)卷积法,当系统的起始状态为零时，仅由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs(t)表示。,2.系统的零状态响应,2020/5/19,28,卷积法的思路如下：(a)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合；(b)求出单位冲激信号作用在系统上的响应单位冲激响应；(c)利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs(t)。,2.1LTI连续系统的响应全响应,2020/5/19,29,2.2冲激响应,冲激响应,在系统起始状态为零的条件下，以单位冲激信号d(t)激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，简称冲激响应，以符号h(t)表示。,2020/5/19,30,n阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足,2.2冲激响应,n阶连续时间LTI系统满足,2020/5/19,31,2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应,一般而言，若微分方程等号右端仅含f(t)：,可推得各初始条件为：,2020/5/19,32,可利用LTI系统的线性进行冲激响应的求解,2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应,一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：,2020/5/19,33,可利用LTI系统的线性进行冲激响应的求解,2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应,一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：,2020/5/19,34,例.描述某LTI系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应h(t)。,解：由上例，,可得,所以,2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应,2020/5/19,35,2.2冲激响应与阶跃响应阶跃响应,阶跃响应,2020/5/19,36,例求系统的单位阶跃响应g(t),系统的冲激响应为,解：,利用冲激响应与阶跃响应的关系，可得,2.2冲激响应与阶跃响应阶跃响应,h(t)=2e-3tu(t),2020/5/19,37,2.3卷积积分卷积积分的物理意义,卷积积分是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解系统对任意激励信号的零状态响应。,2020/5/19,38,2.3卷积积分卷积积分的物理意义,因为LTI系统具有线性时不变性，所以可得,2020/5/19,39,2.3卷积积分卷积积分定义,在因果系统中，,故因果系统的零状态响应可写为：,2020/5/19,40,2.3卷积积分图解法,卷积积分的图解法计算步骤：,2020/5/19,41,2.3卷积积分图解法,t0，表示将波形右移|t|个单位。,2020/5/19,42,2.3卷积积分图解法,过程概括为：两信号自变量代换；将其中一个信号反转，向左平移至无限远，再逐渐向右平移，求此过程中两信号乘积的面积。关键：确定积分限。即确定不为0的公共区间。,动画演示,2020/5/19,43,例计算y(t)=p1(t)*p1(t),a)-t-1,b)-1t0,y(t)=0,2.3卷积积分图解法,2020/5/19,44,c)01,y(t)=0,2.3卷积积分图解法,2020/5/19,45,c)01,y(t)=0,a)-t-1,b)-1t0,y(t)=0,2.3卷积积分图解法,2020/5/19,46,反转较为简单的图形。选择相交部分的积分限的方法：下限取为左边界的较大者，上限取为右边界的较小者。卷积结果：起点等于起点之和，终点等于终点之和。等宽度矩形信号卷积结果是等腰三角形，高度为两矩形高度的乘积乘以宽度。不等宽矩形信号卷积结果是等腰梯形，高度为两矩形高度的乘积乘以较窄矩形的宽度，上底为两矩形宽度之差，下底为宽度之和，腰的宽度是较窄矩形的宽度。,2.3卷积积分图解法,卷积积分图解法的若干结论：,2020/5/19,47,2.4卷积的性质卷积的代数运算,卷积的代数运算卷积性质可以使卷积运算简化,前提：两两卷积存在!,2020/5/19,48,函数与冲激函数的卷积就是它本身,推广：,2.4卷积的性质函数与冲激函数的卷积,波形搬移,2020/5/19,49,平移特性已知f1(t)*f2(t)=y(t)则f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2),证明：,2.4卷积的性质平移特性,2020/5/19,50,例：,例：,解：,2.4卷积的性质,2020/5/19,51,2.4卷积的性质,2020/5/19,52,解:,例利用平移特性及(t)*(t)=r(t)，计算y(t)=f(t)*h(t),y(t)=f(t)*h(t)=(t)-(t-1)*(t)-(t-2),=(t)*(t)-(t-1)*(t)-(t)*(t-2)+(t-1)*(t-2),=r(t)r(t-1)-r(t-2)+r(t-3),2.4卷积的性质,2020/5/19,53,2.4卷积的性质卷积的微分和积分,2020/5/19,54,推广：,2.4卷积的性质卷积的微分和积分,2020/5/19,55,例：画出下列两信号的卷积结果,解：,2.4卷积的性质卷积的微分和积分,2020/5/19,56,2.4卷积的性质,卷积积分有三种解法：(1)图解法；(2)定义法；(3)利用卷积积分性质的方法。（常用）,2020/5/19,57,2.4卷积的性质,解:,(1),2020/5/19,58,2.4卷积的性质,2020/5/19,59,系统框图基本单元的冲激响应,2.4卷积的性质系统框图基本单元冲激响应,2020/5/19,60,冲激响应表示的系统特性,级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应,2.5冲激响应表示的系统特性,2020/5/19,61,一、级联系统的冲激响应,根据卷积积分的结合律性质，有,h(t),2.5冲激响应表示的系统特性,2020/5/19,62,一、级联系统的冲激响应,结论:,1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积,2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应,2.5冲激响应表示的系统特性,2020/5/19,63,二、并联系统的冲激响应,应用卷积积分的分配律性质，有,h(t),2.5冲激响应表示的系统特性,2020/5/19,64,二、并联系统的冲激响应,结论:,并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和,2.5冲激响应表示的系统特性,2020/5/19,65,例：如图，求复合系统的冲激响应。,解：求h(t),2.5冲激响应表示的系统特性,2