湖南省岳阳县第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理

湖南省岳阳县第一中学湖南省岳阳县第一中学 20202020 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题 理理 满分：满分：150150 分分 时间：时间：120120 分钟，分钟， 1. 选择题：（每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合， 2 Mx | xx20 ，则=（ ） 2 Ny| yx1,xR MN A. B. x | 2x1 x |1x2 C. D. x | 1x1 x |1x2 2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）i(2i) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3阅读右面的程序框图，则输出的k的值为（ ） A4B5C6D.7 4.已知命题命题则( )p: xR,x2lgx, 2 q:xR,x0, A.命题是真命题 B.命题是真命题 pqpq C.命题是假命题 D.命题是假命题p(q ) p(q ) 5.函数在上的单调递增区间是（ ） x ysin() 23 x 2 ,2 A. B. C. D. 和 5 , 33 5 2 , 3 ,2 3 5 2 , 3 ,2 3 6.已知，则的最小值是( ) 19 x0,y0,1, xy 且xy A.4 B.12 C.16 D.24 7.若，则( ) 3 tan 4 2 cos2sin2 A. B. C. D. 64 25 48 25 1 16 25 8.函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A,B 分别ycos( x)(0,0) 为最高点与最低点,且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为( )2 2 A. B. C. D. 2 x x 2 x1x2 9.观察,由归纳推理可得：若定义在 R 上的函 2/ (x )2x 4/3 (x )4x / (cosx)sinx. 数满足，记为的导函数，则=（ ）f(x)f( x)f(x)g(x)f(x)g( x) A. B. C. D.f(x)f(x)g(x)g(x) 10.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面距离为ORA,B ,COOABC ，,则球的表面积为( ) 1 R 2 ABAC2BAC120 O A. B. C. D. 16 9 16 3 64 9 64 3 11.某几何体的三视图如图所示，则该集合体中， 面积最大的侧面的面积是（ ） A. B. C. D. 2 2 5 2 6 2 3 12. 在数列中，若数列满足 n a 1nn 1 a0,aa52(n2)(nN ,n2) n b ，则数列的最大项为（ ） n nn 1 8 bn a1() 11 n b A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.第 8 项 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.已知点 P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动，则 z=x+y 的最大值是 2xy0 xy0 y20 14.设，是夹角为 60的单位向量，则= 1 e 2 e 12 OP2e3e OP 15.数列满足：,且是递增数列， n a n n 6 (3a)n3,n7, a(nN ,a0a1) a,n7, 且 n a 则实数的取值范围为 .a 16. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线yf(x) 0 x 00 f(x )f( x )0 00 (x ,f(x ) 的“优美点” ，已知若曲线存在“优美点” ，则实数的取f(x) 2 x2x,x0, f(x) kx2,x0, f(x)k 值范围为 三解答题（17-21 题每题 12 分，选做题 10 分，共 70 分） 17设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且公 n an n S 1 a3 n 1n a2S3 n b 差，d0 123 bbb15 (1).求数列的通项公式； n a (2).若成等比数列，求数列的前项和 312 123 aaa b ,b ,b 333 n bn n T 18.在中，分别是内角所对的边，且满足。ABCa,b,cA,B ,C cosB2ab 0 cosCc (1).求角的值；C (2).若，边上的中线，求的面积b2ABCD3ABC 19. 设二次函数 2 ( )f xaxbxc在区间2,2上的最大值、最小值分别是;集合,M m |( )Ax f xx （1）若1,2A ，且(0)2f，求和的值；Mm （2）若1A ，且1a ，记( )g aMm，求( )g a的最小值 20.如图，在中，,分别是的中点，Rt ABCACB90 B30 D,EAB ,CD 的延长线交于。现将沿折起，折成二面角，连接AECBFACDCDAF (1).求证：平面平面；AEF CBD (2).当时，求二面角大小的余弦值ACBDACDB 21.已知函数，。 alnx f(x) x g(x)mx (1).求函数的单调区间；f(x) (2).当时，恒成立，求实数的取值范围；a0f(x)g(x)m (3).当时，求证：当时，. .a1x1 x 11 (x1)(x)f(x)2(1) ee 选做题：共选做题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。分。 22.选修选修 4-4:4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 2 2 1 y C :x1 4 标系，曲线是圆心极坐标为,半径为 1 的圆。 2 C(3, ) (1).求曲线的参数方程和 的直角坐标方程； 1 C 2 C (2).设 M , N 分别为曲线 ，上的动点，求| MN | 的取值范围 1 C 2 C 23. 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数。f(x) |2x1| x2| （1）求不等式的解集；f(x)0 （2）若关于x 的不等式 有解，求实数 m 的取值范围|2m1| f(x3)3| x5| 参考答案： 1-6.CDAAAC 7-12.ACDDBB T8.解析:函数 为奇函数,所以, ， 该函 数的部分图象如图所表示,A、B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为, 所以, 所以 ， ，所以函数的表达式为 显然 是它的一条对称轴方程. 所以 C 选项是正确的 T11.解析:由三视图可知，几何体的直观图如图所示。 平面平面，四棱锥 的高为 ， 四边形是边长为 的正方形，所以， 12 12= 22 ， ， 所以面积最大的侧面的面积为。故本题正确答案为 B。 T12:解析： 二。填空题 13. 4 14. 15. 16.19(2,3)(,22 2) T16： 3解答题 17、解：（1）由 32 1 nn Sa ，得 )2( 32 1 nSa nn 相减得： )(2 11 nnnn SSaa ，即 nnn aaa2 1 ，则 3 1 n n a a 当 1n 时， 932 12 aa ， 3 1 2 a a 数列 n a 是等比数列， nn n a333 1 （2） 231321 2,15bbbbbb ， 5 2 b 由题意 ) 3 )( 3 () 3 ( 3 3 1 12 2 2 b a b a b a ，而 9 3 , 3 3 , 1 3 321 aaa 设 dbbdb5, 5,5 321 ， )95)(15(64dd ， 0208 2 dd ，得 2d 或 10d （舍去） 故 nn nn nd nn nbTn22 2 ) 1( 3 2 ) 1( 2 1 T18. 19. （本题满分 12 分）设二次函数 2 ( )f xaxbxc在区间2,2上的最大值、最小值 分别是;集合|( )Ax f xx （1）若1,2A ，且(0)2f，求和的值；,M mMm （2）若1A ，且1a ，记( )g aMm，求( )g a的最小值 解：（1）由条件得(1)1,(2)2,(0)2fff得1,2,2abc ， 2 ( )22f xxx= 2 (1)1x,-3 分- ( 2)44210,(1)1Mfmf. 5 分 (2)有条件得 2 (1)0axbxc有两个相等实根，从而 2 1,(1)4abcbac，得 12 ,ba ca . 则 2 ( )(1 2 )f xaxa xa.-8 分 1a 对称轴 2111 1 ,1) 222 a x aa ， 11 ( 2)92,(1)1 24 Mfamf aa ， 1 ( )91, 4 g aa a (1)a 又 ( )g a在1,)上单调递增，-10 分 min 131 ( )(1)8 44 g ag12 分 20、 （I）证明：在,Rt ABCDABADCDDB中为的中点得， 30 ,BACD 又得是正三角形 又 E 是 CD 的中点，得 AFCD。 折起后，AECD，EFCD， 又 AEEF=E，AE 平面 AED，EF 平面 AEF， 故 CD平面 AEF， 又 CD 平面 CDB， 故平面 AEF平面 CBD。 （II）方法一： 解：过点 A 作 AHEF，垂足 H 落在 FE 的延长线上。 因为 CD平面 AEF，所以 CDAH， 所以 AH平面 CBD。 以 E 为原点，EF 所在直线为x轴，ED 所在直线为 y 轴， 过 E 与 AH 平行的直线为 z 轴建立如图空间直角坐标系数。 由（I）可知AEF 即为所求二面角的平面角， 设为，并设 AC=a，可得 333 (0,0),(0,0), (, ,0), (cos ,0,sin ). 22222 aaaaa CDBaA 22 33 (cos ,sin ), 222 3 (,0), 22 ,0, 3 cos0, 44 aaa AC aa BD ACBDAC BD aa 故 即 得 1 cos. 3 故二项角 ACDB 大小的余弦值为 1 . 3 方法二： 解：过点 A 作 AHEF，垂足 H 落在 FE 的延长线， 因为 CD平面 AEF，所以 CDAH， 所以 AH平面 CBD。 连接 CH 并延长交 BD 的延长线于 G， 由已知 ACBD，得 CHBD， 即CGB=90， 因此CEHCGD， 则, EHCE DGCG , 3 60 , 222 3 , 6 3 2 ACa aaa GDCDGCECG a EH a EA 设易得 代入上式得 又 故 1 cos. 3 EH HEA EA 又AECD，EFCD， AEF 即为所求二面角的平面角， 故二项角 ACDB 大小的余弦值为 1 . 3 21.已知函数，。 alnx f(x) x g(x)mx (1).求函数的单调区间；f(x) (2).当时，恒成立，求实数的取值范围；a0f(x)g(x)m (3).当时，求证：当时，. .a1x1 x 11 (x1)(x)f(x)2(1) ee 解析：（1）的定义域为，则，由 alnx f(x) x (0,) / 22 1 (alnx)1 alnx f (x) xx /1 a f (x)01 lnxa0lnx1 a0 xe 所以， 在 单调递增，在单调递减； 1 a (0,e) 1 a (e,) (2)解：a=0, lnx f(x) x 2 lnxlnx f(x)g(x)mxm xx 令，由， 2 lnx u(x) x / 3 1 2lnx u (x) x / u (x)00 xe 单调递增，在单调递减；u(x)(0, e)且( e,) ， max lne1 u(x)u( e) e2e 1 m 2e （3）.证明等价于 x 11 (x1)(x)f(x)2(1) ee x 1 x 1(x1)(lnx1)2e e 1xxe1 令， (x1)(lnx1) p(x) x / 2 xlnx p (x) x 令，则(x)xlnx