甘肃省张掖市2020学年高二数学上学期期末联考试题 理

张掖市2020学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测数学（理科）试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。)1命题“xR+，lnx0”的否定是（）AxR+，lnx0BxR+，lnx0CxR+，lnx0DxR+，lnx02等差数列an中，若a2+a8=15a5，则的a5值为（）A3B4C5D63抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的渐近线的距离是（）A B C1 D4椭圆+=1（ab0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）ABC D5实数x，y满足，则z=yx的最大值是（）A1B2C3D46如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）A +B +C +D +7已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD8在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A=120，a=7，c=5，则=（）A B C D9直线与曲线的交点个数为（ ）A0 B1 C2 D310如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A B C D 11已知lga+lgb=lg2， +的最大值是（）A2 B2 C D12已知双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A1， +1） B（1， +1） C（+1，+） D（1， +1）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）13命题“若x22x30，则x1或x3”的逆否命题是。14不等式1的解集是。15对于曲线有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）它关于直线对称；（4）x1且y1其中正确的有_（填上相应的序号即可）。16已知数列an满足+=2（nN*），数列bn满足=，则数列 的前n项和=。三、解答题（共7小题，满分60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）已知p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若a=，且pq为真，求实数x的取值范围。（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。18.（本题满分12分） 已知不等式m2xm20。(1) 若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围。19（本题满分12分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知cos2A+3cos（B+C）=1。（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求ABC的面积。20（本题满分12分）已知数列an为等差数列，a3=3，a7=7，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn2（1）求an、bn的通项公式（2）若cn=，数列cn的前n项和为Tn，求Tn。21（本题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若PB=，求二面角APDC的余弦值。22（本题满分12分）已知椭圆C： +（ab0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2。（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由。张掖市2020学年第一学期期末高二年级学业水平质量检测数学答案（理科）1命题“xR+，lnx0”的否定是（）AxR+，lnx0BxR+，lnx0CxR+，lnx0DxR+，lnx0【解答】解：特称命题的否定是全称命题，则命题“xR+，lnx0”的否定是：xR+，lnx0，故选：B2等差数列an中，若a2+a8=15a5，则a5的值为（）A3B4C5D6【解答】解：由题意得，a2+a8=15a5，所以由等差数列的性质得a2+a8=2a5=15a5，解得a5=5，故选：C3抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的渐近线的距离是（）A B C1 D【解答】解：抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），由题得：双曲线x2=1的渐近线方程为xy=0，F到其渐近线的距离d=故选：B4椭圆+=1（ab0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）ABCD【解答】解：由题意，|F1F2|=2=2c，2a=+=6，e=故选： C5实数x，y满足，则z=yx的最大值是（）A1B2C3D4【解答】解：由约束条件画出平面区域，如图所示A（0，1），化目标函数z=yx为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A时，目标函数取得最大值zmax=10=1故选：A6如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）A +B +C +D +【解答】解：由题意， =；故选A7已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD【解答】解：椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的焦点坐标F（0，），设椭圆方程为，且，解得a=2，c=，b=1，椭圆方程为故选A8在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A=120，a=7，c=5，则=A B C D【解答】解：A=120，a=7，c=5，由余弦定理可得：72=b2+522b5cos120，整理可得：b2+5b24=0，解得：b=3或8（舍去）由正弦定理及比例的性质可得： =故选：D9 C10如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A B C D 【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，=BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为C11已知lga+lgb=lg2， +的最大值是（）A2 B2 C D【解答】解：lga+lgb=lg2，lgab=lg2，正数ab满足ab=2，b=，+=+=+=当且仅当a=即a=时取等号故选：D12已知双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A1， +1）B（1， +1）C（+1，+）D（1， +1）【解答】解：在PF1F2中，可得=，由=，可得e=，即有|PF1|=e|PF2|，由双曲线的定义可得2a=|PF1|PF2|=（e1）|PF2|，由存在P，可得|PF2|ca，即有2a（e1）（ca），由e=，可得（e1）22，解得1e1+故选：B二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）13命题“若x22x30，则x1或x3”的逆否命题是若1x3，则x22x3014不等式1的解集是（，1）5，+）15（2）、（3）16已知数列an满足+=2（nN*），数列bn满足bn=anan+1，则数列bn的前n项和Sn=【解答】解：数列an满足+=2（nN*），当n=1时， =1，解得a1=1当n2时， +=（nN*），可得： =n3，解得an=当n=1时，上式也成立an=数列bn满足bn=anan+1=则数列bn的前n项和Sn=+=1=故答案为：三、解答题（共7小题，满分60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）已知p：2x23x+10，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0（1）若a=，且pq为真，求实数x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解答】解：p：，q：axa+1；（1）若a=，则q：；.4pq为真，p，q都为真；，；实数x的取值范围为；.7（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；，；实数a的取值范围为.1018已知不等式m2xm20.(1) 若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围【解答】解：(1) 对所有实数x，都有不等式mx22xm20恒成立，即函数f(x)mx22xm2的图象全部在x轴下方，当m0时，2x20，显然对任意x不能恒成立；当m0时，由二次函数的图象可知有解得m0知g(m)在2，2上为增函数，则由题意只需g(2)0即可，即2x222x20，解得0x1，所以x的取值范围是(0，1).12.19在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知cos2A+3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求ABC的面积（2）由余弦定理可得a2=（b+c）2bc，代入数据可得bc的值，整体代入面积公式可得【解答】解：（1）在ABC中cos2A+3cos（B+C）=1，2cos2A13cosA=1，即2cos2A3cosA2=0，解得cosA=，或cosA=2（舍去），由A（0，）可得A=；.6（2）由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2bc，代入数据可得12=16bc，解得bc=4，.10ABC的面积S=bcsinA=.1220已知数列an为等差数列，a3=3，a7=7，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn2（1）求an、bn的通项公式（2）若cn=，数列cn的前n项和为Tn，求Tn【解答】解：（1）数列an为等差数列，a3=3，a7=7，设公差为d，解得，an=1+（n1）1=n，nN*数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn2，b1=S1=2b12，解得b1=2，当n2时，由Sn=2bn2及Sn1=2bn12，两式相减，得bn=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是首项为2，公比为2的等比数列，bn=22n1=2n（nN*）.6（2）cn=，数列cn的前n项和：Tn=，=，得： =1，Tn=2.1221如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若PB=，求二面角APDC的余弦值【解答】（）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BDPA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且BAD=60，PAD和ABD为两个全等的等边三角形，则PEAD，BEAD，AD平面PBE，（3分）又PB平面PBE，PBAD；（5分）（）解：在PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，PEB=90，即PEBE，又PEAD，PE平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（2，0），D（1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（1，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；（7分）设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由 得：，令y=1，则x=，z=1， =（，1，1）；则=1，cos=，（11分）由题意知二面角APDC的平面角为钝角，所以，二面角APDC的余弦值为（12分）22已知椭圆C： +（ab0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设F（c，0），可得直线l的方程为y=xc，即为xyc=0，由坐标原点O到l的距离为2，即有2=，解得c=2，由e=，可得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；.4（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），当直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x2）（k0）由，消去y得（1+3k2）x2