福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 三角函数与向量模块教案 文

福建省漳浦县道周中学福建省漳浦县道周中学 20202020 年高考数学专题复习年高考数学专题复习 三角函数与向量模块教案三角函数与向量模块教案 文文 三角 一、重点突破 1、关于任意角的概念 角的概念推广后，任意角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、区间角及终边相同的角 2、角的概念推广后,注意“0到 90的角” 、 “第一象限角” 、 “钝角”和“小于 90的角”这四个概念 的区别 3、两个实用公式：弧度公式：l=|r，扇形面积公式：S=|r2 2 1 4、三角函数曲线即三角函数的图像，与三角函数线是不同的概念 5、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式，诱导公式可以解决证明、化简、求值问题，而 求值有“给角求值” 、 “给值求值” 、 “给值求角”三类。 6、应用两角和与差的三角函数公式应注意： 当 ， 中有一个角为的整数倍时，利用诱导公式较为简便。 2 善于利用角的变形,如 =(+),2=(+)+()，+2=2(+)等 2 4 倍角公式的变形降幂公式：sin2=，cos2=，sincos=sin2 应用十 2 2cos1 2 2cos1 2 1 分广泛. 7、三角函数的图像和 性质，重点掌握：， 周期性的概念；y=Asin(x+)的图像是由 y=sinx 的图像经过怎样的变换得到 五点法作图. 8、三角求值问题的解题思路： 三种基本变换：角度变换、名称变换、运算结构的变换 给值求角问题的基本思路 先求出该角的一个三角函数值；再根据角的范围与函数值定角，要注意角的范围对三角函数值的影 响。 9、注意活用数学思想方法：方程思想、数形结合，整体思想、向量方法 10.正弦定理及余弦定理 1、 （11-3 福质）已知函数, 31 ( )sincos 22 f xxx xR P N M O -1 1 y x （）求函数f(x)的最大值和最小值； （）如图,函数f(x)在1,1上的图象与x轴的交点从左到右 分别为M、N，图象的最高点为P,求与PN 的夹角的余弦PM 解：()=sin() 6 x 2 分 31 ( )sincos 22 f xxx 1sin()1 6 x ，函数的最大值和最小值分别为 1，14 分xR( )f x ()解法 1：令( )sin()0 6 f xx 得, 6 xkkZ 1,1x 或 5 6 x 6 分 1 6 x 15 (,0),( ,0), 66 MN 由sin()1 6 x ，且得 1 3 x 8 分 1,1x 1 ( ,1), 3 P 11 (, 1),( , 1), 22 PMPN 10 分 3 5 12 分cos, | | PM PN PM PN PMPN 解法 2：过点P作轴于A,则由三角函数的性质知 1 |1 2 MNT,6 分PAx| 1,PA ,8 分 22 15 | |1( ) 22 PMPN 由余弦定理得 222 | cos, 2| | PMPNMN PM PN PMPN 10 分 =12 分 5 2 1 3 4 5 5 2 4 解法 3：过点 P 作PAx轴于,则| 1,PA 由三角函数的性质知,6 分A 1 |1 2 MNT 22 15 | |1( ) 22 PMPN8 分 在中， |12 5 cos |55 2 PA MPA PM 10 分Rt PAM PA平分 2 coscos22cos1MPNMPAMPA12MPN 2 2 53 2 ()1 55 分 2、 （11-3 龙质）已知函数 2 ( )2cos2 3sincos1f xxxx （）求函数的最小正周期和单调递增区间；( )f x （）当时，求函数的值域0, 4 x ( )yf x 【命题意图】本小题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式 对已知的三角函数进行化简求值； 【解析】 2 ( )2cos2 3sin cos1f xxxx 3 分cos23sin22xx2sin(2)2 6 x （） 4 分 2 2 T 令 5 分Zkkxk, 2 2 6 2 2 2 6 分Zkkxk, 63 函数的单调递增区间为 7 分( )yf xZkkk , 6 , 3 （）， 8 分 4 0 x 3 2 6 2 6 x ， 9 分1) 6 2sin( 2 1 x 10 分2) 6 2sin(21 x 11 分32sin(2)24 6 x 函数的值域为 12 分( )yf x3,4 3、 （11-3 莆质） 4、 （11-3 泉质） 5、 （11-5 龙质） 6、 （11-5 南质）已知向量，函数.xxasin,cosxxbcos2 ,cos2 baxf （）求及的值；K*s5*ua 24 f （）在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且，求ABC的周长.3, 4, 1 24 abcCf 解：（） 2 分1sincos 22 xxa 4 分 1 4 2sin22sin2cos1cossin2cos2 2 xxxxxxbaxf 6 分1 2 6 1 3 sin21 412 sin2 24 f （）由得， 9 分1 24 Cf0 3 2sin C 3 C 由余弦定理得， abbaCabbac3cos2 2 222 5ba ABC的周长 12 分9cba 7、 （11-5 宁德质）已知函数 2 ( )2sin(2)2cos1 4 f xxx （）求的最大值及其取得最大值时的集合；( )f xx （）在中，分别是角的对边，已知，求的面积ABC, ,a b c, ,A B C 35 ,() 4312 aAbf ABC 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、正余弦定理等基础知识，考查运算本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、正余弦定理等基础知识，考查运算 求解能力，考查数形结合思想满分求解能力，考查数形结合思想满分 1212 分分. . 解法一：（） 22 ( )2(sin2cos2 )cos2 22 f xxxx ， 4 分sin2cos2cos2xxxsin2x ，. 6 分 max ( )1f x, 4 xx xkk Z （）， 7 分 551 ()sin 1262 bf 由正弦定理，得， 10 分 sinsin ab AB sin1B 2 B 1 4 c . 12 分 13 232 ABC Sac 解法二：（）同解法一； （）， 7 分 551 ()sin 1262 bf 由余弦定理，得，10 分 222 2cosabcbcA 2 311 1642 cc 1 4 c . 12 分 13 sin 232 ABC SbcA 8、 （11-5 泉质）已知函数的最小正周期为，当时，( )sin()(0,0,0)f xAxA 2 x 取得最小值( )f x2 （）求( )f x的解析式； （）在ABC中，若，求边的最小值( )1f A 6AB AC BC 解：（）依题意得，,函数( )f x的周期为，2A ，3 分0 2 2 又，2sin(2)2 2 () 2 kk Z ，5 分0 2 6 分( )sin(2)cos2 2 f xxx （）， 1 ( )cos2 2 f AA 022A ，或8 分 3 A 2 3 A 又，即，6AB AC cos60ABACA ，9 分 3 A 12ABAC ， 22222 2cos12BCABACABACAABACABACABAC 的最小值为12 分BC2 3 9、 （11-5 厦门质） 本题考查三角函数的图像和性质、图像的平移伸缩等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考 查方程与函数、数形结合数学思想方法满分 12 分 解：（）由函数图象及函数模型知； -1 分( )sin()f xAx2A 由，得- 213 4 33 T 1 2 3 分 由最高点得，又，-5 4 (2) 3 ， 14 2 232 k 2 6 k 22 6 分 所求函数解析式为 -6 分 1 ( )2sin()0 26 yf xxx （）解法一：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到) 62 1 sin(2)( xxfy 2 1 - -8 分) 6 sin(2)( xxgy ， -9 分 x 26 5 63 x 当，即时，有最大值 2； 26 x 3 2 x( )g x 当，即时，有最小值 1-12 分 6 5 6 xx( )g x 解法二：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到) 62 1 sin(2)( xxfy 2 1 -8) 6 sin(2)( xxgy 分 令，函数的单调递增区间是， 6 tx 2sinyt2,2 22 kk Zk 由，得， kxk2 26 2 2 kxk2 3 2 2 3 Zk 设， 则，A , 2 ,2 3 2 2 3 |ZkkxkxB AB 3 2 , 2 函数在区间上单调递增-10( )yg x 3 2 , 2 分 同理可得，函数在区间上单调递减-11 分( )yg x, 3 2 又，3) 2 ( g2) 3 2 ( g1)(g 函数在上的最大值为 2，最小值为 1-12 分( )yg x, 2 10、 （11-5 漳州质）已知和是函数的相邻的两个零点 4 4 ( )sin()(0,0)f xx （）求( )f x的解析式； （II）在ABC中，若，求函数的值域 2 sinsincossinBCAA( )f A 解：（）依题意得，函数( )f x的周期，2() 44 T ， 2 分0 2 2 又，sin(2 ()0 4 () 2 kk Z ， 5 分0 2 6 分( )sin(2)cos2 2 f xxx （II） 2 sinsincossin,BCAA 由正弦定理和余弦定理得，即，8 分 222 2 2 bca bca bc 222 3bca ， 2222 22222 1 () 22 3 cos 22323 bcbc bcabc A bcbcbc ， 10 分 2 cos1 3 A ，故的值域为 12 分 2 1 ( )2cos1 ,1) 9 f AA ( )f A 1 ,1) 9 11、 （11 福建终极压轴） 解： 12、 （11 石光模拟二）已知 ，(xR). 2 1 cos2sin 2 3 )( 2 xxxf ()求函数的最小值和最小正周期；k*s*5uk*s*5uk*s*5u xf ()设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c，f (C)=0，若向量m(1,sinA)与3 向量n(2,sinB)共线，求a，b的值。 解：() f (x)=sin2x-=sin(2x-)-1 3 分 2 3 2 2cos1x 2 1 6 则f (x)的最小值是-2，最小正周期是 T=. 2 2 () f (C)=sin(2C-)-1=0，则 sin(2C-)=1， 6 6 0C，02C2，-2C-， 6 6 6 11 2C-=，C =， 8 分 6 2 3 向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线 =，10 分 2 1 B A sin sin 由正弦定理得，= b a 2 1 由余弦定理得，c2 =a2 +b2 -2abcos，即 3=a2 +b2 ab 3 由解得a=1，b=2. 12 分 13、 （11 石光模拟三）在锐角中，边是方程ABC2sincos32sincosABBA, a b 的两个实根求：求角的值；三角形面积及边的长 2 2 320 xxCSc 解：（1）由已知. 3 分2(sincos)3AcosBAsinB2sin()3AB 又， .在锐角中， 7分ABC 3 sin 2 C ABC60C （2）由韦达定理， 10 分2 3,2abab 13 sin 22 SabC 由余弦定理： 12 分 2222 2cos()31266cababCabab6c 14、 （11 石光模拟一）如图，设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点，P，Q 是单位圆上两点，是坐标原点，O 且，. 6 AOP, 0,AOQ （）若点 Q 的坐标是，求的值； 3 4 ( , ) 5 5 ) 6 cos( （）设函数，求的值域 fOP OQ f 解（）由已知可得. （2 分） 5 4 sin, 5 3 cos 所以. （6 分） 6 sinsin 6 coscos) 6 cos( 33413 34 525210 （）.（9 分） fOP OQ (cos,sin) (cos ,sin) 66 sin 2 1 cos 2 3 sin() 3 因为，则，所以.0, ) 4 ,) 333 3 sin()1 23 故的值域是. （12 分） f 3 (,1 2 15、 （11 泉一模拟二） 已知向量， 1)(),()cos2 , 3(),cos,2(sinnmxfRxxnxxm （1）求的单调递增区间； )(xf （2）在ABC 中，角 A,B,C 的对边为，求的值。cba, 4 , 3, 2)( BaAf b 2 :(1) ( )13sin22cos1 3sin2cos2 2sin(2)2 6 f xm nxx xx x 解 分 )( 63 ),( 2 2 6 2 2 2ZkkxkZkkxk 得由4 分 的单调递增区间为)(xfZkkk 6 , 3 6 分 y xAO Q P (2)( )2sin(2)2, 6 sin(2)1,2,9 6626 ABCf AA AAA 在中， 分 由正弦定理得： 2 3 sin 2 6,612 1 sin 2 aB bb A 分 16、 （11 四地六校模拟）已知向量 1 (sin , 1),( 3cos ,) 2 axbx ,函数( )()2f xaba （）求函数( )f x的最小正周期T; （）已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边, 其中A为锐角,2 3,4ac,且 ( )1f A ,求,A b和ABC的面积S 解: （） 2 ( )()22f xabaaa b 2 1 sin13sin cos2 2 xxx 2 分 1 cos231 sin2 222 x x 31 sin2cos2 22 xxsin(2) 6 x 4 分 因为2,所以 2 2 T 6 分 （） ( )sin(2)1 6 f AA 因为 5 (0,),2(,) 2666 AA ，所以2 62 A ， 3 A 8 分 则 222 2cosabcbcA，所以 2 1 12162 4 2 bb ，即 2 440bb则2b 10 分 12 分32 3 sin42 2 1 sin 2 1 AbcS 17、 （11 厦门双十模拟）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别是 2 , , ,cos()cos(). 442 a b cCC （I）求角 C 的大小； （II）若2 3,sin2sin,cAB求，.ab 解：（I）由已知,-3 分 222221 cossincossincos 222222 CCCCc -6 分0, 3 CC （II）， 由正弦定理得-8 分sin2sinAB2ab -10 分 222222 2cos523cababCbbb ，-12 分 2 4,2bb 4a 18、 （11 永一模拟）已知函数的最小正周期为 0 2 sin2sin3 x xxf3 （1）当时，求函数最小值； 2 3 0 x xf （2）在ABC 中，若且，c=2,试求ABC 面积的最大值，并判断当面积取最大值时ABC 的形 1Cf 状。 解： 1 cos() ( )3sin()2 2 x f xx 3sin()cos() 1xx 2sin() 1 6 x 依题意函数的最小正周期为，即，解得，所以 )(xf 3 2 3 2 3 1) 63 2 sin(2)( xxf （） min 3277 0( )2sin() 12 263666 x xf x 6 分 （）由及，得 1) 63 2 sin(2)( C Cf 1)(Cf 1) 63 2 sin( C 而, 所以，解得 8 分 25 6366 C 263 2 C 2 C 在中， ABCRt 2 11 sin,cossincossin210 22 0022 22 12 4 ABC ABC acA bcASabcAAA AAA AS 分 当时 即时取最大值1,此时为等腰直角三角形分 19、 （11 师大附中模拟）设函数的最大值为,最小正周期为.)(cossin322cos)(RxxxxxfMT ()求、； MT ()若有 10 个互不相等的正数满足 i x),10, 2 , 1(10,)(ixMxf ii 且 求的值. 1210 xxx 解： 4 分) 6 2sin(22cos2sin3)( xxxxf ()M=2 ， T= 6 分 2 2 () 即 9 分, 2 2 6 2, 2)( kxxf ii )( 6 Zkkxi 又 11 分9 , 1 , 0,100kxi 12 分 1210 (129)10 6 xxx 140 3 20、 （11 福三中模拟）已知向量，若) 1 ,cossin3(xxm) 2 1 ,(cosxn nmxf)( (1) 求函数)(xf的最小正周期； (2) 已知的三内角的对边分别为，且ABCABC、abc、 3 3,() 2122 A af （A 为锐角） ，求 A、的值2sinsinCBcb、 解 ：(1) nmxf)( 2 1 coscossin3 2 xxx 31 cos21 sin2 222 x x 31 sin2cos2 22 xxsin(2) 6 x 的最小正周期为. ( )f x （2） 3 ()sin,0, 212223 A fAAA 由正弦定理得 2sinsinCB2 ,bc ，由余弦定理，得， 3a 22 92cos 3 bcbc 解组成的方程组，得 3 2 3 c b 21、 （11 福一中模拟）设函数其中. 2 ( )cosf xx02 （I）设,求的单调增区间； 1 2 )(xf （II）若函数的图象的一条对称轴为，求的值.)(xf 3 x 解（I）时,，2 分 1 2 21 1 cos ( )cos 22 x f xx 的单调增区间是；5 分( )f x(2,2)()kkkZ （II）, 函数的图象的一条对称轴为， 1 cos2 ( ) 2 x f x )(xf 3 x 取最值，8 分 2 1 cos 3 () 32 f 2 cos1, 3 10 分 23 , 32 kk . 12 分 3 02, 2 22、 （11 龙岩市联考）在中，分别是内角 A，B，C 所对的边，若向量ABCabc,3 3 Ca ，且/。)sin, 1 (Am )sin, 2(Bn mn （I）求，的值；bc （II）求角 A 的大小及的面积。ABC 23、 （11 龙一中模拟） 24、 （11 泉五中模拟）在锐角ABC中, ,a b c分别是角, ,A B C的对边, 5 cos 5 A , 3 10 sin 10 B . (1)求cos()AB的值; (2)若4a ,求ABC的面积. 解：(1) 5 5 cosA,又A为锐角， 5 52 cos1sin 2 AA， 10 103 sinB，又B为锐角，. 10 10 sin1cos 2 BB 2 2 10 103 5 52 10 10 5 5 sinsincoscos)cos(BABABA。6 分 （2）由正弦定理得 B b A a sinsin ，23 10 103 5 52 4 b b . 由(1)知, 4 3 BA, 4 C. 6 2 2 234 2 1 sin 2 1 CabS ABC .12 分 25、 （11-5 厦门质）下图是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是( )sin()(0)f xAxx，其中 0,A 0,. 22 （I）根据图象求函数( )yf x的解析式； （II）将函数( )yf x图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数( )yg x 的图 象， 求函数( )yg x在, 2 上的最大值和最小值。 本题考查三角函数的图像和性质、图像的平移伸缩等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查方程与函数、数形结合数学思想方法满分 12 分 解：（）由函数图象及函数模型( )sin()f xAx知2A ；-1 分 由 213 4 33 T ，得 1 2 -3 分 由最高点 4 (2) 3 ，得， 14 2 232 k ，2 6 k ，又 22 ， 6 -5 分 所求函数解析式为 1 ( )2sin()0 26 yf xxx -6 分 （）解法一：将) 62 1 sin(2)( xxfy图象上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍，纵坐标不变， 得到) 6 sin(2)( xxgy-8 分 x 2 ， 6 5 63 x， -9 分 当 26 x，即 3 2 x时，( )g x有最大值 2；当 6 5 6 x，即x时，( )g x有最小值 1-12 分 解法二：将) 62 1 sin(2)( xxfy图象上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍，纵坐标不变，得到 ) 6 sin(2)( xxgy -8 分 令 6 tx ，函数2sinyt的单调递增区间是2,2 22 kk ，Zk ， 由 kxk2 26 2 2 ，得 kxk2 3 2 2 3 ，Zk ， 设A , 2 ，,2 3 2 2 3 |ZkkxkxB ，则AB 3 2 , 2 ，学 函数( )yg x在区间 3 2 , 2 上单调递增-10 分 同理可得，函数( )yg x在区间, 3 2 上单调递减-11 分 又3) 2 ( g，2) 3 2 ( g，1)(g， 函数( )yg x在, 2 上的最大值为 2，最小值为 1-12 分 26、 （11 厦门外国语学校模拟）在ABC 中，已知三边，成等比数列.abc （1）求角的最大值；B （2）若，求的值。 4 B)