第3讲 立体几何中的向量方法

第3讲立体几何中的向量方法,高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.,1.(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(),真题感悟,解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.,图(1)图(2),则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).,法二如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，则PNBC1，MNAB1，AB1与BC1所成的角是MNP或其补角.AB2，BCCC11，,在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC,答案C,2.(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.,(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值.,(1)证明由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.,(2)解由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.,所以可取n(0，1，1).设平面ECC1的法向量为m(x2，y2，z2)，,1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法,考点整合,2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算,热点一利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.证明：,(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.,证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).,(2)因为ABAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，,又BE平面PAD，所以BE平面PAD.,设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，,探究提高1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的定理，如在(2)中忽略BE平面PAD而致误.,解析建立以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系.令正方体的棱长为3，可得D(0，0，0)，A(0，3，0)，A1(0，3，3)，C1(3，0，3)，D1(0，0，3)，B(3，3，0)，M(1，3，1)，N(3，2，1).,答案,热点二利用空间向量计算空间角角度1求线面角或异面直线所成的角【例21】(2019浙江卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点.,(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.,(1)证明连接A1E.因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.,(2)解设直线EF与平面A1BC所成角为.,设平面A1BC的法向量为n(x，y，z).,探究提高1.异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即cos|cos|.2.直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin|cos|，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角(或其补角).,【训练2】(2019郑州模拟)如图，在棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中M更靠近D，且MNC1N.,(1)证明由已知得A1B1C1为正三角形，D为棱A1B1的中点，C1DA1B1，,在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，则AA1C1D.又A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面ABB1A1，C1D平面ABB1A1，A1E平面ABB1A1，C1DA1E.易证A1EAD，又ADC1DD，AD，C1D平面AC1D，A1E平面AC1D.,(2)解取BC的中点O，B1C1的中点O1，则AOBC，OO1BC，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，,易知n(1，0，0)是平面BCC1B1的一个法向量，,角度2计算二面角【例22】(2019长郡中学模拟)如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD2AE2AB4FC4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使ADAE.,(1)求证：AF平面CBD；(2)求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值.,(1)证明取DE中点G，连接FG，AG，CG.由条件CF綊DG，CFGD为平行四边形，FGCD.又FG平面CBD，CD平面CBD，FG平面CBD.同理AG平面CBD.又FGAGG，FG平面AFG，AG平面AFG.平面AFG平面CBD，又AF平面AFG，所以AF平面CBD.,(2)解EFAE，EFDE，AEDEE，EF平面ADE，又ADDE，故可以AE中点H为原点，AE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面BCD的法向量为n2(x，y，z)，,探究提高1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.,【训练3】(2019南昌模拟)如图，在四棱锥ABCDE中，平面BCDE平面ABC，BEEC，BC2，AB4，ABC60.,(1)求证：BE平面ACE；(2)若直线CE与平面ABC所成的角为45，求二面角EABC的余弦值.,所以AC2BC2AB2，所以ACBC.因为平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABCBC，AC平面ABC，所以AC平面BCDE.又BE平面BCDE，所以ACBE.又BEEC，AC，CE平面ACE，且ACCEC，所以BE平面ACE.,(2)解因为直线CE与平面ABC所成的角为45，平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABCBC，,所以BCE45，所以EBC为等腰直角三角形.记BC的中点为O，连接OE，则OE平面ABC，故可建立如图所示的空间直角坐标系，,(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.,(1)证明连接BD，设AC交BD于点O，连接SO.由题意知SO平面ABCD，以O为坐标原点，,所以二面角的大小为30.,(3)解在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.,由于BE平面PAC，故BE平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE平面PAC，此时SEEC21.,探究提高1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2.空间向量求解探索性问题：(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.,(1)证明因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD.(2)解过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD，AM，AD平面ABCD，所以PAAM，PAAD.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).,令z1，则y1，x1.于是n(1，1，1).又因为平面PAD的一个法向量为p(1，0，0)，,(3)解直线AG在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，,1.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两