高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法3.3.2分析法知识导航素材北师大版选修1_22

3.2 分析法自主整理从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的_,直到归结为这个命题的_或归结为_、_、_等,我们把这种思维方法称为_.高手笔记1.分析法的思考过程为“执果索因”的顺序，是从求证的结论出发，步步探索结论成立的条件.2.对于命题“若P则Q”的分析法证明可用框图表示为名师解惑分析法的解释剖析:分析法是从要证的结论入手,分析结论成立的一个充分条件,步骤书写较为繁杂,但入手点较低,易找出问题的突破口.用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A则D”）分析法的思考顺序是执果索因的顺序,是从D上溯寻其论据,如C,C1,C2等,再寻求C,C1,C2的论据,如B,B1,B2,B3,B4等等,继而寻求B,B1,B2,B3,B4的论据,如果其中之一B的论据恰好为已知条件,于是命题得证.在分析法中,就应当用假设的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就必须先有B成立;如果要有B成立,又只需有C成立从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时,所有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的,而并不是确信它们都是真实的,直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的,于是命题就被证明了.讲练互动【例1】求证:+22+.分析：可以采用分析法,逐步化简转化求使得结论成立的充分条件.证法一：为了证明+20,2+0,只需证明(+2)2(2+)2,展开,得11+411+4,只需证44,只需证67.显然67成立.+2成立.证法二：为了证明+22+,只要证明2-2-,只要证明2,2+2+0.成立.+22+成立.绿色通道在不等式证明中直接证不易证的情况下,可通过分析法,逐步探索不等式成立的条件.变式训练1.求证:.证明:要证-,只需证+0,+0,只需证(+)2(+)2,即9+9+,只需证,只需证1418.显然1418成立.-0,(-)20,(-)2(+)0成立.+成立.绿色通道在不等式较复杂无从入手的情况下,可用分析法分析不等式成立所具备的条件.变式训练2.设a、bR+,且ab.求证:a3+b3a2b+ab2.证明:要证a3+b3a2b+ab2成立,只需证a3-a2b+b3-ab20,即a2(a-b)+b2(b-a)0成立.即证(a-b)2(a+b)0成立.a、bR+,a+b0.又ab,(a-b)20.(a-b)2(a+b)0成立.a3+b3a2b+ab2成立.【例3】已知ab0,求证:.分析：本题条件较为简单,结论比较复杂,看上去无从入手解答问题,所以我们可以从要证的结论入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.证明：要证-成立,即(-)2b0,只需证-成立,只需证1成立.只需证+2且2成立.ab0,成立.-0,b0,2ca+b.求证:c-ac+.证明:要证cac+,只需证a-c,即证|a-c|c2-ab,只需证(a-c)2c2-ab,即a2-2ac-ab,即a(a+b-2c)0,a+b0,a+b-2c0.a(a+b-2c)0成立.ca0,y0,且xy.求证:.分析：注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开.可采用分析法,从消去分数指数幂入手.解：要证,只需证(x3+y3)2(x2+y2)3,即x6+y6+2x3y3x6+y6+3x4y2+3x2y4,只需证2x3y30,y0,只需证2xy3(x2+y2).只需证2xy2xy成立.0,求证:a2+-a+-2.证明:要证a+-2,只需证+2a+成立.a0,只需证(