高中数学：《导数在研究函数中的应用（一）》教案 苏教版选修1-1

导数在研究函数中的应用（一）的教案教材 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1.课题 3.3导数在研究函数中的应用（一）.教学目标(一)知识与技能目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.（二）过程与方法目标1.通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法；2.培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，掌握数形结合、分类讨论思想.（三）情感态度与价值观目标1.通过教学过程让学生多动手、多观察、勤思考、善总结；2.培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育.教学重点、难点重点：掌握利用导数判断函数单调性的方法.难点：理解利用导数判断函数单调性的原理.教学过程设计（1） 课题导入 师：同学们，上一节课我们已经学习了导数，请一位同学来回顾一下我们是怎样定义导数的.生：导数的定义：设函数在区间上有定义，当无限趋近于0时，有（常数），则称在点处可导，称为函数在点处的导数，记作.师：我们都知道导数是函数变化率，它刻画了函数变化的趋势，也就是上升或下降的陡峭程度，同学们还记不记得函数的单调性，它是这样定义的：如果函数对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么在这个区间上是增（减）函数，函数的单调性同样是对函数变化的一种刻画，那么我们来发散一下思维想一想导数与函数的单调性是不是有什么联系呢？这节课我们就一起来探究导数在研究函数中的应用之一：利用导数判断函数的单调性.（2） 讲授新课师：我们先以增函数为例来看一下，如果函数在区间上是增函数，那么对任意,，当时，即与同号，从而有， 即 . 通过回顾，我们发现研究导数时也出现了，我们猜想一下导数大于0与函数单调递增是密切相关的. 生：那导数大于0与函数单调递增到底有着什么样的关系呢？ 师：我们先来看一下熟悉的函数的图像，通过观察可以发现：在区间内，切线的斜率为正，函数的值随着的增大而增大，也就是说时，函数在区间内为增函数；而在区间内，切线的斜率为负，函数的值随着的增大而减小，也就是说时，函数在区间内为减函数.师:这是一个特殊函数的情况，我们同学能不能根据这个特殊函数归纳出一般情况下导数与函数的单调性有着什么样的关系？生：设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么为这个区间内的减函数. 上述结论可以用下图直观理解. 0 0 师：现在我们知道了导数大于0可以推出函数在此区间内为增函数，导数小于0可以推出函数在此区间内为减函数，这并不是一个等价条件，我们希望能将导数与函数的单调性写成等价条件，如下：可导函数在内是增函数（减函数）且在内的任意区间内不恒等于0. 等价条件为什么是这样的请同学们课后思考并细细体会，下面我们一起来看几道例题.例1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解 .令，解得.因此，当时，函数为增函数.同理可得，当时，函数为减函数. 说明：老师讲解，让学生自己画图来对比一下，确定解法是否正确.例2 (请两位同学上黑板板演)确定函数在哪些区间上是增函数.解 .令，解得或.因此，在区间上，是增函数；在区间上，也是增函数.说明：学生板演，老师用几何画板画出精确的图让学生观察.例3 确定函数，（）的单调减区间.解 .令，即，又（），所以（，）.故区间（，）是函数，（）的单调减区间. 说明：老师讲解，并给出图形直观显示. （三）加强训练1.讨论函数的单调性：（1）（2）分析：注意数形结合思想，讨论的情形； 注意写单调区间时不能将区间并在一起写.2. 用导数证明在区间上是减函数.证明 .因为，所以，进而，但在不恒等于0，故在区间上是减函数.说明：这道题与书上的练习略有区别，可以让学生对比一下导数与函数单调性的充分性与充要性，从而深刻体会导数与函数单调性的充要性.3.求函数的单调减区间.分析：（1）学生观察题目，发现与上例不同之处？如何解决？ （2）学生解题得出结果；（3）反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论（抓住“讨论点”以及其完整性）。解 . 当时，令，解得；当时，；当时，令，解得.综上所述，当时，函数的单调减区间是；当时，函数的单调减区间是.（4） 小结1.利用导数研究函数的单调性的步骤，并与不等式、不等式的解法相结合，注重对参数的讨论；求单调性按如下步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）对应增区间，对应减区间. 2.函数单调性与导数关系的充要性； 3.本节课用到的数学思想方法：数形结合、分类讨论思想.（五）布置作业 1.（必做题）课本P7