自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动

11-4单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动,在振动过程中有动力荷载作用的振动称为强迫振动。分析强迫振动的目的是求结构最大的动位移和动内力。,一.运动方程的建立和求解,运动方程为,或,运动方程式是非齐次二阶常微分方程，其通解包括两部分，一部分为相应齐次方程的通解，即：,一般解,特解，设为,代入方程，则得,即,要使上式在t为任意值时均能成立，则必须是等式两边括号中的系数分别等于零，即,由此可解出,通解为,式中C1、C2取决于初始条件。设当时，代入上式，可求得,通解为,由此式可知，振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率一致，称为伴生自由振动。由于这两部分振动都含有因子，故它们将很快衰减而消失，最后只剩下按干扰力频率而振动的第三部分，称为纯强迫振动或稳态强迫振动。我们把振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段，而把后面只剩下纯强迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因而对实际问题一般只讨论纯强迫振动,稳态强迫振动,下面分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。,二不考虑阻尼的纯强迫振动,1.运动方程及方程的解,令，质点m的运动方程为,由式(11-28)的第三项可知纯强迫振动质点的位移为,2.振幅的计算,质点的最大动位移(即振幅)为,由于，故，代入上式得,式中代表将简谐荷载的幅值P作为静力荷载作用于结构上时所引起质点的静力位移；而,为质点的振幅与静力位移之比值，称为位移动力系数。,若干扰力，则类似地可得纯强迫振动质点的位移为,由上可知，根据与的比值求得动力系数后，只要将简谐荷载的幅值P当作静力荷载而求出质点的位移，然后再乘以，即可求得质点的振幅A。,由上式可知，值与值越接近，|越大。为了减小质点的振幅，应使值尽量远离值。当时，应设法增大结构的自振频率(增大结构刚度或减小质量)；当时，应设法减小结构的自振频率(减小结构刚度或增大质量)。,值得指出，对于干扰力作用在质点上的单自由度体系，它所承受的干扰力和惯性力的作用线重合，可以合并为一个外力，所以各截面的内力和位移均与质点的位移成正比，不仅是质点位移的动力系数，同时也是各截面内力和位移的动力系数。,可以看出，当时，为正值。又从右式可知，此时y(t)与P(t)的方向恒相同(称为同相位)，质点运动到最下(或上)端与干扰力向下(或上)达到最大值是同时发生的。而当时，则为负值，根据右式有,与干扰力P(t)=Psin比较可以看出，强迫振动的相位()与干扰力的相位正好相差。即y(t)与P(t)的方向恒相反，当干扰力向下(或上)达到最大值时则质点正好运动到最上(或下)端。,由于振动时质点是上下往返运动，值的正负对动力反应的计算无实际意义，需要的是它的绝对值。,3.讨论与的变化曲线,(1)时,.,当时,这表明当简谐荷载的周期T=为结构自振周期的五倍以上时，可将其视为静力荷载。,(2)01时，值随的增大而增大，动力系数1。,(3)=1时，=。这表明当干扰力的频率与自振频率相等时，动位移和动内力都将无限增大，这种现象称为共振。虽然实际上由于阻尼的存在，共振时不会出现动力反应无限大的情况，但共振时结构各种反应都比相应的静力反应大很多倍，在设计中应尽量避免共振。,1时，|值随的增大而减小。当时，|，即干扰力的频率很大时，质点只在静平衡位置附近作极微小的振动。,三.考虑阻尼的纯强迫振动,回顾式,取第三项，并令,则有,式中A为有阻尼的纯强迫振动的振幅；是位移与荷载之间的相位差，表明质点位移y(t)与荷载不同步，它们之间相差一个角，当干扰力为最大时，质点的位移并不是最大值。不同步的原因是阻尼力，它不与位移成比例。由式(g)得,振幅,相位差,以代入上式，则振幅A可写为,振幅,动力系数,可见动力系数不仅与和比值有关，而且与阻尼比有关。对于不同的值，可绘出相应的与之间的关系曲线，如图所示。从该图可以看出，阻尼比对动力系数的影响，与频率比值有关。工程中一般将0.751.25的区域称为共振区，在共振区内，阻尼比对动力系数的影响明显，阻尼力大大减小了强迫振动的位移，应考虑阻尼的影响。但在共振区外，对的影响很小，可按无阻尼计算。,当=1时的动力系数为,但的最大值并不发生在=1处。利用式(11-36)，由可知，发生在=处,即,但通常值很小，故计算时可近似地将=1时的值作为最大值。,下面由相位差的变化来分析振动时诸力的平衡关系。由下式,可知：,(1)当时，由式(11-32)可知，位移y(t)与P(t)同步。此时体系振动很慢，惯性力和阻尼力都很小，故动荷载主要由弹性力与之平衡。(2)当时，。此时体系振动很快，惯性力很大，弹性力和阻尼力相对比较小，动荷载主要与惯性力平衡。(3)当时，。说明位移落后于荷载P(t)约90，即荷载为最大时，位移和加速度都接近于零，因而弹性力和惯性力都接近于零，动荷载主要由阻尼力平衡。而在无阻尼振动中没有阻尼力去平衡动荷载，故出现位移无限增大情况。可见阻尼对共振时的动力反应有重要作用。,例11-7图11-27所示简支梁的中点装有一台电动机，已知电动机的重量W=20kN,转动时偏心质量产生的离心力P=10kN，梁的弹性模量E=2.8104N/mm2，惯性矩I=0.9105cm4，忽略梁的质量和阻尼，试求当电动机每分钟的转数为n=600r/min时，梁的最大挠度和弯矩。,解：(1)计算梁的自振频率,质点质量,柔度系数,自振频率,(2)计算简谐荷载的频率,(3)计算动力系数,(4)计算最大挠度和最大弯矩,梁中点的最大挠度等于自重引起的静位移与动力位移幅值之和，即,梁中点的最大弯矩等于自重引起的静弯矩与动力弯矩幅值之和，即,kNm,以上的分析是干扰力P(t)直接作用在质点m上的情形。在实际问题中，干扰力P(t)也可能不作用在质点上。例如图11-28a所示简支梁，质点m在点1处，而干扰力P(t)则作用在点2处，现用柔度法建立体系的运动方程。,若不考虑阻尼，质点m在振动的任一时刻t的位移y(t)是惯性力I(t)和干扰力P(t)共同作用的结果(图11-28d)，即,将以上两式比较可知，对于这种情况，本节前面导出的各个计算公式都是适用的，但须将公式中的P(t)用来代替。由式(11-29)和(11-30)知方程式(11-38)纯强迫振动的解为,其中振幅A为,例11-8图11-29a所示简支梁跨中有一质点m，梁右端作用一个动力偶P(t)=Msint，且荷载频率与体系自振频率之比，不考虑梁的质量和阻尼，试求质点动位移和支座截面B动转角的幅值.,解：设惯性力和动力荷载分别取单位力和单位力偶作用在体系上，绘出相应的弯矩图分别如图11-29b、c所示。用图乘法可求得柔度系数,质点动位移的幅值,支座截面B动转角的幅值是由惯性力幅值和动力荷载幅值共同作用下产生的。由式(11-39)得质点的惯性力为,因此，动力荷载、质点动位移和惯性力都按规律变化，三者同时达到各自的最大值。这时，截面B的动转角也达到最大值。将惯性力幅值和动力荷载幅值M同时作用在体系上(图11-29d)，根据叠加原理得截面