第六章形态学教案

18熊庆旭：傅里叶变换及典型非周期信号的傅里叶变换教案数字图像处理教案第六章数学形态学在图像处理中的应用谢凤英二九年十月数学形态学在图像处理中的应用一、课型 新授课二、教学目的1. 知识层次：通过本节内容的教学，使学生掌握： (1) 数学形态学的产生和发展；(2) 数学形态学用于图像处理的基本思想；(3) 二值形态学；(4) 灰值形态学。2. 能力层次：(1) 通过讲授和演示，掌握数学形态学的探测思想，掌握基本的腐蚀和膨胀算法，在此基础上学习开闭运算及其滤波性质，学习击中击不中变换、条件膨胀等典型的二值形态学方法，学会运用二值形态学方法对图像进行颗粒分析。(2) 将二值形态学引申到灰值形态学，学习基本的灰度图象的腐蚀和膨胀算法，在此基础上，掌握开闭运算及其滤波性质，掌握top-hat变换及其对图像中峰或谷结构的检测特性。三、重点和难点1. 重点1) 形态学的基本思想探测思想，掌握结构元素的概念，掌握基本的二值腐蚀运算，该运算是其他形态学算法的基础；2) 二值形态学处理，包括开闭运算及其滤波特性，击中击不中变换，条件膨胀，二值形态学在颗粒分析中的应用；3) 灰值形态学处理，包括灰值腐蚀和膨胀，开闭运算，形态学梯度，top-hat变换；4) 形态学方法应用案例分析，使学生掌握形态学处理图像的技巧。2. 难点数学形态学是图像处理算法研究的一个发展分支，在图像增强、分割、识别等方面都有成功的应用。但该类处理方法其思想完全有别于传统的图像处理算法，学生应该掌握数学形态学的基本思想，能够灵活运用形态学的思想来处理图像问题，要学会具体问题具体分析，本章将通过案例分析的方式介绍如何应用形态学的方法解决实际问题。四、教法与教具 在教法方面主要采用讲授，分析的方法，同时辅以具体的例子加以说明。(1) 首先交代清楚形态学的探测思想，然后从二值形态学延伸到灰值形态学，由浅入深，由易到难，辅以实际的案例分析，采用多媒体现场演示，使学生掌握概念，理解算法的特点，同时学会运用。(2) 对于二值形态学，由腐蚀运算入手，在此基础上，引出膨胀，以及由腐蚀和膨胀运算得出的开闭运算，更进一步，讲授击中击不中变换，条件膨胀，颗粒分析等(3) 对于灰度形态学，沿着二值形态学的讲解思路，在讲授腐蚀和膨胀基础上，重点介绍开闭运算和top-hat变换及其应用。 在教具方面采用多媒体教学与传统板书相结合的方法。(1) 多媒体教学节省大量的板书时间，可以有更多的时间用于对基本概念的讲解，以及研究方法和思维方式的分析。(2) 多媒体教学的不足之处在于屏幕显示内容有限，不能给学生一个整体清晰的知识线索和内容结构的显示，因此有必要辅以板书。(3) 板书的内容体现主要的知识点以及知识点之间的关系，使学生对本堂课的内容逻辑关系有个总体把握和认识。五、教学过程1、数学形态学概述数学形态学（Mathematics Morphology）形成于1964年，法国巴黎矿业学院马瑟荣（G. Matheron）和其学生赛拉（J. Serra）从事铁矿核的定量岩石学分析，提出了该理论。 数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科，其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大的影响。目前，形态学图像处理已成为数字图像处理的一个主要研究领域。在文字识别、显微图像分析、医学图像、工业检测、机器人视觉都有很成功的应用。数学形态学（Mathematical Morphology）是分析几何形状和结构的数学方法，它建立在集合代数的基础上，是用集合论方法定量描述目标几何结构的学科。这种结构表示的可以是分析对象的宏观性质，例如，在分析一个工具或印刷字符的形状时，研究的就是其宏观结构；也可以是微观性质，例如，在分析颗粒分布或由小的基元产生的纹理时，研究的便是微观结构。B图1 形态学基本运算A利用一个结构元素（相当于模板）去探测一个图像，看是否能将这个结构元素很好地填放在图像的内部，同时验证填放结构元素的方法是否有效。对图像内适合放入结构元素的位置做标记，得到关于图像结构的信息。这些信息与结构元素的尺寸和形状都有关。构造不同的结构元素，便可完成不同的图像分析，得到不同的分析结果。2、相关概念二值图像的数学形态学算法以腐蚀和膨胀这两种基本运算为基础，引出了其它几种常用的数学形态学运算，最常见的有开运算、闭运算、击中击不中变换、细化等。我们在讲述这些基本的形态学算法前，先介绍几个相关的概念。(1) 平移将一个集合A平移距离可以表示为A+b，其定义如公式（1）所示。 （1）图2 二值图像的平移AA+xaa+xxyb图2说明了集合平移的过程，从几何上看，A+b表示A沿矢量b平移了一段距离。探测的目的，就是要标记出图像内部那些可以将结构元素填入的（平移）位置。(2) 集合关系如图3所示，设A和B为空间的子集，A为物体区域，B为某种结构元素，则B结构单元对A的关系有三类：（a）B包含于A，记作（b）B击中（hit）A，记作（c）B击不中（miss）A，记作图3 包含、击中和击不中示意图ABABAB (3) 对称集如图4所示，设有一幅图像A，将A中所有元素相对原点转180o，即令变成，所得到的新集合称为A的对称集，记为-A。图4 相对原点转180a-aA-Axy3、形态学基本运算(1) 腐蚀集合A被B腐蚀，表示为，其定义为： （2）其中，A称为输入图像，B称为结构元素。AB由将B平移仍包含在A内的所有点组成。如果将B看作模板，那么，在将模板平移的过程中，AB则由所有可以填入A内部的模板的原点组成，如图5所示。从图5中可以看出，腐蚀是表示用某种“探针”(即结构元素)对一个图像进行探测，以便找出图像内部可以放下该基元的区域。它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程，可以用来消除小且无意义的物体。AxyBxyAQB图5 腐蚀类似于收缩(2) 膨胀我们以表示集合的补集，表示关于坐标原点的对称集。那么，集合被膨胀，表示为，其定义为： （3）为了利用结构元素膨胀集合，可将相对原点旋转，得到，再利用对进行腐蚀，腐蚀结果的补集就是所求的结果，如图6所示。ABxyxyxyAQB图6 利用圆盘膨胀从图6中可以看出，与腐蚀相反，膨胀将与物体接触的所有背景点合并到该物体中，使边界向外部扩张，如果两个物体之间的距离比较近，则膨胀运算可能会把两个物体连通到一起，膨胀对填补图像分割后物体中的空洞很有用。(3) 二值开运算假定A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号AB表示，其定义为： （4）所以，开运算实际上是A先被B腐蚀，然后再被B膨胀的结果。开运算通常用来消除小对象物、在纤细点处分离物体、平滑较大物体的边界的同时并不明显改变其体积。图7所示是用圆盘对矩形做开运算的例子。（a）输入图像A （b）结构元素B （c） （d）图7 用圆盘对输入图像做开运算的结果从图7我们看到，开运算具有两个显著的作用： 利用圆盘可以磨光矩形内边缘，即可以使图像的尖角转化为背景； 用可以得到图像的尖角，因此圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的作用。(4) 二值闭运算闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再作腐蚀。利用B对A作闭运算表示为，其定义为： （5）即用-B对A进行膨胀，将其结果再用-B进行腐蚀。闭运算通常用来填充目标内细小孔洞、连接断开的邻近目标、平滑其边界的同时并不明显改变其面积。图8描述了闭运算的过程及结果。显然，用闭运算对图形的外部做滤波，仅仅磨光了凸向图像内部的边角。ABA(-B)ABAB图8 利用圆盘对输入图像进行闭运算 (5) 击中击不中变换在图像分析中，同时探测图像的内部和外部，而不仅仅局限于仅探测图像的内部或图像的外部，对于研究图像中物体与背景之间的关系，往往会得到很好的结果。击中击不中变换（HMT）即可达到此目的。击中击不中变换在一次运算中同时可以捕获到内外标记。击中击不中变换需要两个结构基元E和F，这两个基元被作为一个结构元素对，一个探测图像内部，另一个探测图像的外部，其定义为： （6）当且仅当E平移到某一点时可填入A的内部，F平移到该点时可填入A的外部时，该点才在击中击不中变换的输出中。显然，E和F应当是不相连接的，即，否则便不可能存在两个结构元素同时填入的情况。图9所示是击中击不中变换示意图。EF（a）击中结构元素 （b）击不中结构元素 （c）输入图像 （d）击中击不中输出图9 击中击不中变换示意图(6) 基于击中击不中变换的细化算法许多数学形态学算法都依赖于击中击不中变换，其中，数字图像细化是一种最常见的使用击中击不中变换的形态学算法。对于结构对，利用B细化S定义为：即为与的差集。更一般的，利用结构对序列，迭代地产生输出序列：或随着迭代的进行，得到的集合也不断细化。假设输入集合是有限的，最终将得到一个细化的图像。图10表示了利用一个结构对E和F作用于图像S的连续迭代过程，击中击不中变换标记图像的左下角，并在迭代的过程中通过细化除去这些标记。图10中仅利用了一个结构对，因而，细化是有方向性的。图11给出了8个方向的结构元素对，当用这8个结构元素对循环对图像进行细化时，则细化可以以更对称的方式完成。图10 利用一个结构对的细化EFSS1S2S5S4S3图11 8个方向的结构元素对表示击中结构元素E，表示击不中结构元素F4、二值图像的形态学处理(1) 二值形态学边界利用圆盘结构元素做膨胀会使图像扩大，做腐蚀会使图像缩小，这两种运算都可以用来检测二值图像的边界。对于图像A和圆盘B，图12给出了三种求取二值边界的方法：内边界、外边界和跨骑在实际边缘上的边界。A B 图12 用腐蚀和膨胀运算得出的三种图像边界(2) 条件膨胀假设有输入图像A, 结构元素B，集合C，则利用B相对C对A作条件膨胀，可以通过将平移限制在C之内得到，其结果为： (7)图13 条件膨胀示意图CAB利用给定的标记进行膨胀，找出二值图像中含有某种标记的连通成分，这个标记可以是一个象素，也可以是一个连通子区域。例如：把整个原始图像目标数据作为条件C，对输入图像A抽取连通成分。二值输入图像A, 为标记点结构元素B第一步第二步第三步第四步图14 条件膨胀的应用(3) 骨架化最大圆盘：对于一个目标S，S内的最大圆盘不是其他任何完全属于S的圆盘子集，并且至少有两点与目标边界轮廓相切。图15 最大圆盘概念xD(x)wD(w)最大圆盘非最大圆盘所有最大圆盘的圆心构成了图像的骨架。数字情况下圆盘的选择：令B为一种结构元素，最大圆盘可表示为0B，1B，nB，其中。用邻接像素模板作结构元素时的数字圆盘如下：图16 数字圆盘0B2B3B4B利用最大圆盘可以抽取骨架，抽取骨架可以应用于图像压缩（有损或无损） 、字符识别等。图17 骨架抽取过程图输入图像n=0 n=1 n=2抽骨架最终骨架(4) 流域分割极限腐蚀：对于给定图像A，用结构元素B对其不断进行腐蚀，在腐蚀过程中，不连通的区域不断产生，某些区域又不断消失，一个连通成分在消失前的最后一步，称为最终连通成分。所有最终连通成分的并就是相对B的极限腐蚀，用 来表示。图18 极限腐蚀实例距离函数：对于A内给定一点x，距离函数dist(x)为从x到A的补集的距离。图19 距离函数输入图像 距离函数图 距离函数反向图 流域分割原理：如下图所示。图20 相对通过圆盘水平线做出的 -dist(x)图形x- dist(x)图21 地形浸没过程说明实现 对图像做极限腐蚀，生成距离函数反相图 -dist(x) ，并记下极限腐蚀位置 水从最深处(最后一个消失的连通成分)开始上涨，给每个新出现的积水盆一个新的标记，水面上涨过程中不同积水盆相接时，筑起一道坝最终的坝就是分割线(5)二值形态学应用 图像滤波：开闭运算 图像细化和目标识别：击中击不中变换 焊点短路检测：原数据与开运算相减 粘连粒子分离：流域分割 离散粒度分布：用尺寸递增的结构元素序列过滤图像(开运算) 局部颗粒分析：板书讲解5、灰值形态学(1) 灰值腐蚀利用结构元素g（也是一个信号）对信号f的腐蚀定义为： （8）从几何角度讲，为了求出信号被结构元素在点x腐蚀的结果，我们在空间滑动这个结构元素，使其原点与x重合，然后向上推结构元素，结构元素仍处于信号下方所能达到的最大值，即为该点的腐蚀结果。由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀在该点没有意义。图22所示是利用半圆形结构元素g对信号f的腐蚀示意图。上推结构元素求出公式（8）的极大值，只是计算灰值腐蚀的一种方法。我们还可以通过计算在平移结构元素的定义域上信号值与平移结构元素之间的最小差值，来得到灰值腐蚀。这是因为，这个最小值与上推结构元素的最大值是相等的。由此得到灰值腐蚀的另一种表达形式： （9）gxf0.5xf Q g（a）结构元素 （b）信号 （c）腐蚀的结果图22 利用半圆形结构元素对信号腐蚀例如，离散的结构元素g和信号f分别为：其中，星号代表信号无定义（负无穷大）的点，带三角下标的元素表示原点的位置。用结构元素g对f作腐蚀，将g向右平移，当其平移2个单位时，g变为：利用公式（9）有：连续将g向右平移，并做极小值运算，得到腐蚀后的信号：将结构元素g和f推广到二维（灰值图像），将结构元素g在x和y两个方向上逐点平移，并在每个位置上计算公式（9）的值，即可得到二维信号腐蚀的结果。(2) 灰值膨胀灰值膨胀也可用灰值腐蚀的对偶运算来定义，即利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元素的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的最小值来定义灰值膨胀。f被g膨胀的逐点定义为： （10）前面关于定义域的限制对于该定义仍然适用。图23给出了通过上推结构元素对信号进行膨胀的结果。图23 利用结构元素对信号膨胀示意图t（a）结构元素 （b）的反射 （c）信号 （d）与灰值腐蚀类似，灰值膨胀也可以通过将结构元素的原点平移到与信号重合，然后，对信号上的每一点求与结构元素之和的最大值得到。即： （11）(3) 灰值开运算与二值形态学相类似，灰值开运算是先做腐蚀再做膨胀的迭代运算，其公式为： （12）图24所示是结构元素g对信号f开运算的过程示意图，从图中可以看出，开运算可以滤掉信号向上的小噪声，且保持信号的基本形状不变。当然，噪声的滤除效果也与所选择结构元素的大小和形状有关，假如本例中的结构元素的长度小于信号向上突起的噪声的底端长度，那么开运算的结果将会减弱噪声而不是消除噪声了。(4) 灰值闭运算灰值闭运算是开运算的对偶运算，即先做膨胀后做腐蚀运算，其公式为： （13）图25所示是利用图24中的结构元素对图25（a）信号f做闭运算的过程示意图，从图中可以看出，闭运算可以滤掉向下的小噪声，且保持信号的基本形状不变。而且与开运算相同，结构元素的选择也会影响滤波的效果。图25 闭运算过程示意图（a） （b） （c）(5) 灰值形态学梯度在用梯度检测图像边缘时，是基于以下考虑的：如果在某一点处的梯度值大，则表示在该点处图像的明暗变化迅速，从而可能有边缘通过。在形态学处理中也提出了几种梯度，本节介绍其中的一种，称为形态学梯度。其定义为： （14）其中，为以原点为中心的扁平结构元素（定义域上取常数的结构元素）。图26给出了对信号f求梯度的过程示意图，其中g为定义域内取值为0的扁平结构元素。从图中可以看出，输出信号在输入信号跳变处形成了较高的值。梯度f Q gf gf g图26 形态学梯度(6) Top-Hat变换Top-Hat变换算子定义为： （15）其中，为结构元素。因为开运算是一种非扩展运算，处理过程处在原始图像的下方，所以总是非负的。图27给出了Top-Hat算子的一个例子，采用的结构元素为一扁平结构元素，其长度较原始信号的跳跃尖峰的宽度稍大一点。从图中我们可以看到，信号中的峰值已经被检测出来了。图27 Top-Hat变换示意图（a）信号 b）结构元素 （c）开运算结果 （d）Top-Hat变换结果公式（15）定义的Top-Hat变换也称作波峰检测器。公式（15）的对偶算子称为波谷检测器，其定义为： （16）由于闭运算是扩展的，其处理结果位于输入图像的上部，因此根据公式（16），波谷检测器的输出结果也是非负的。为了检测图像中的峰和谷，可以同时使用开运算和闭运算，然后求其差。即： （17）(7) 流域分割（watershed变换）水域分割，又称watershed变换，是模仿地形图浸没过程的一种形态学分割算法，其本质上是利用图像的区域特性来分割图像的，它将边缘检测与区域生长的优点结合起来，能够得到单像素宽的、连通的、封闭的，并且位置准确的轮廓，因此是应用比较广泛的一种图像分割方法。水域分割的基本思想是基于局部极小值和积水盆（catchment basin）的概念。积水盆是地形中局部极小点的影响区（influence zones），水平面从这些局部极小值处上涨，在水平面浸没地形的过程中，每一个积水盆被筑起的“坝”所包围，这些坝用来防止不同积水盆里的水混合到一起。在地形完全浸没到水中之后，这些筑起的坝就构成了分水岭。这个过程可以用图28说明。图28 地形浸没过程说明将水域的概念应用到图像分割中，假设待分割的图像由目标和背景组成，这样，图像的背景和目标的内部区域将对应梯度图中灰度较低的位置，而目标边缘则对应了梯度图中的亮带，称梯度图像中具有均匀低灰度值的区域为极小值区域（一般分布在目标内部及背景处）。水面从这些极小区域开始上涨，当不同流域中的水面不断升高到将要汇合在一起时（目标边界处），便筑起一道堤坝，最后得到由这些坝组成的分水线，图像也就完成了分割。图29所示是一组水域分割实例。 （a）细胞图像 （b）梯度图 （c）梯度图像的流域分界线 （d）分割结果图29 一组水域分割实例 梯度算子的选择从水域分割的基本原理知道，水域分割本质上是利用基于邻域的空间信息来分割图像的，它实际上是把边缘检测和区域生长结合起来，所以能够得到单像素宽的、连续