初中数学案例

有关初中数学案例培训资源设计和实施中的几个问题,一、案例和案例教学,1.案例的概念为了一定的教学目的，围绕选定的问题，以事实为素材，编写而成的对某一实际情境的客观描述。2.案例的特点(1)真实性(2)情境性(3)典型性(4)综合性(5)启发性,3.案例的功能(1)模仿借鉴(2)理解领悟(3)反思研究(4)提高认识(5)更新观念4.案例教学在教师的指导下，根据教学目的的要求，组织学生通过对案例的调查、阅读、思考、分析、讨论和交流等活动，教给他们分析问题和解决问题的方法，加深他们对概念和原理的理解。,5.课例和案例(1)课例和案例的区别(2)课例是案例的基础(3)优秀课例制作成的案例是案例培训的重要组成部分,二、数学教师培训案例资源库的框架,专题,数学,课型,1.按数学内容编排教学的窗口：中学数学教学案例集,名师授课录,2.按课型编排数学典型课示例第一章绪言第二章新学新授课的教学第一节数学新授课的教学目的与要求第二节数学新授课的内容组织第三节数学新授课的教法设计第四节数学新授课的优秀课例分析第三章数学习题课的教学第四章数学复习课的教学第五章数学活动课的教学,(1)概念课(2)原理课(3)习题课(4)复习课(5)试卷讲评课,3.按专题编排数学教育个案学习第一章个案学习一种教师培训的新方式第二章个案精选第一节为什么而教个案1一节拖堂的公开课个案2“今天起不布置作业”个案3一个问题的三种答疑方式第二节认识教学的复杂性第三节向教学实际学习,第四节关注学生的学第五节理解是教学的中心第六节情感因素很重要第三章个案的反思和理论学习第四章个案讨论的组织和过程第五章大家都来写个案,(1)创设情境(2)研究性学习(3)师生互动(4)合作学习(5)提问(6)情感态度价值观(7)多媒体,三、数学优质课例的选择,什么样的课是优质数学课,数学课堂教学评价的理念1.教师主导和学生主体2.过程和结果3.预设和生成4.学科本质和教学理念5.还原论和系统论,好课的标准,教学目标确当,教学内容充实,教学方法灵活,教学气氛活跃,教学效果显著,教学过程合理,好课的标准,深刻,活跃,扎实,创新,凸显本质,数学本质的内涵,数学知识内在联系,数学规律形成过程,数学理性精神体验,数学思想方法提炼,函数概念的本质一、运动变化在一个变化过程中，有两个变量二、联系对应两个变量互相联系，一个变量变化，另一个变量也随着变化；自变量x有一个确定的值，函数y有唯一确定的值和它对应。,一、创设情境二、探究新知1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，填下面的表，指出题中有哪些量，并用含t的式子表示s。2.每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？,3.某地在24小时内的温度T随着时间t的变化如图所示。(1)8时的温度是多少？14时的温度是多少？(2)图中有哪些量？,T,t,O,3.抽象概括4.概念运用例1购买x支签字笔，单价为3元，总价为y元，根据题意填表：(1)求y随x变化的关系式；(2)当购买8支签字笔时总价是多少？,例2下图是某物体的抛射曲线，其中s表示物体与抛射点的水平距离，h表示物体的高度。(1)这个图像反映哪两个变量之间的关系？(2)根据图像填表(3)高度h是距离s的函数吗？,t=1，s=60t=2，s=120,x=150，y=1500X=205，y=2050X=310，y=3100,t=8，T=-2t=14，T=9,t取一个确定的值，s有确定的一个值与它对应。,x取一个确定的值，y有确定的一个值与它对应。,t取一个确定的值，T有确定的一个值与它对应。,函数定义,创设情境,探究属性,抽象概括,定义分析,辨析举例,凸显数学本质的方法1.逐步提升2.贯穿过程,实物,自然语言,符号,引入,探究,原理,应用,小结,理解,图形,展开过程,数学学习过程的内容,概念学习过程,原理学习过程,问题解决过程,思想方法形成过程,知识结构形成过程,技能形成过程,概念学习过程,设置情境,探究属性,概念建构,定义分析,判断举例,概念运用,概念联系,原理学习过程,创设问题情境,开展探究,发现原理,探究证明思路,证明原理,研究原理,勾股定理1.创设情境如果消防云梯的最大长度是25米，梯子低端离墙的距离是7米，那么消防队员能到达楼房的最大高度是多少米？,7,25,2.探究活动,3.发现定理,4.探究证明思路5.证明定理,6.定理应用如何确定赵州石拱桥所在圆的半径？,7.定理推广,数学问题解决过程,设置情境,提出问题,探究解题思路,解决问题,反思和拓展,1.设置情境，提出问题任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，使得它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？2.分析问题，发现不可能3.提出新的猜想任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？,3,4,2,12,4.探究特殊图形或5.联想,3,4,2,12,6.研究一般情况7.推广(1)三角形(2)菱形(3)扇形(4)任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的n倍？,x,y,m,n,讲清解题过程,探索解题途径,解题反思研究,讲清步骤,注意事项,问题类化,模式识别,分析思路,解题策略,多种解法,拓展推广,变式训练,变化条件,应用研究,分解转化,创意设计,数学知识的学术形态,数学知识的教育形态,情境设计,创设情境的形式,故事,实际问题,游戏,数学史,制作,实验,竞赛,悬念,活动,录像,创设情境的要求,生动有趣,贴近内容,联系实际,引发探究,贯穿全程,反映本质,探索全等三角形的条件1.衣橱上有两块全等的三角形装饰玻璃，其中一块打碎了，如何去配？2.如何检验乡间小屋的两个人字架全等？3.某中学自制一批三角形流动红旗，如何检查它们是否全等？,勾股定理1.小红用一张长3厘米的正方形纸片，按对角折叠重合，你知道折痕多长吗？2.这个问题你是怎么想的，说出你的想法？3.如果把折叠成的直角三角形放在图1所示的格点中(每个小正方形边长为1)，你能知道斜边的长吗？,(4)观察图2，填写下列表格：,问题设计,问题,引入,提问,例题,练习,拓展,测试,设计问题的要求,有丰富的实践背景,解法和结论开放,符合学生的水平,有充分的拓展余地,有一定的思维要求,引入问题设计,提问问题设计,圆的周长1.两辆遥控模型赛车同时以同样速度从同一点出发，分别沿着边长为2.5米的正方形和直径为3米的圆形赛道进行比赛，问谁先回到出发点？2.怎样测量正方形的周长？3.正方形的周长与什么量有关？4.什么是圆的周长？5.怎样测量圆的周长？6.圆的周长与什么量有关？,6.怎样测量圆的直径？7.圆周长与直径有什么关系？8.怎样用等式表示圆周长与直径之间的关系？9.已知圆的半径怎样求圆周长？10.已知圆周长怎样求圆的直径和半径？,变式问题设计,概念性变式,概念变式,非概念变式,过程性变式,变式,概念性变式问题设计,概念变式标准图形非标准图形,非概念变式概念图形非概念图形,过程性变式问题设计,在ABC中，AD为BC边上的中线，过C任作一直线，与边AB及AD分别交于点F和E，求证：AE:ED=2AF:FB。,B,A,C,D,E,F,B,A,C,D,E,F,B,A,C,D,E,F,B,A,C,D,E,F,B,A,C,D,E,F,G,G,B,A,C,D,E,F,B,A,C,D,E,F,G,G,变式1：在ABC中，D是BC边上一点，且BD:DC=1:2，过C任作一直线，与边AB及AD分别交于点F和E，求证：AE:ED=3AF:2FB。,B,A,C,D,E,F,变式2：在ABC中，D是BC边上一点，且BD:DC=2:3，过C任作一直线，与边AB及AD分别交于点F和E，求证：AE:ED=5AF:3FB。,B,A,C,D,E,F,变式3：在ABC中，D是BC边上一点，且BD:DC=m:n，过C任作一直线，与边AB及AD分别交于点F和E，求证：AE:ED=(m+n)AF:nFB。,B,A,C,D,E,F,变式4：在ABC中，D是BC上一点，且BD:DC=m:n，过C任作一直线，与边AB及AD分别交于点F和E，AE:ED=(m+n)AF:nFB是否成立？,B,A,C,D,E,F,变式5:在ABC中，AD为BC边上的中线，E是中线AD的中点，BE的延长线交AC于点F，求AF:FC的值。,B,A,C,D,E,F,变式6:在ABC中，D是BC上一点，且BD:DC=1:2，E是AD上一点，AE:ED=3:2，BE的延长线交AC于点F，求AF:FC的值。,B,A,C,D,E,F,变式7:在ABC中，D是BC上一点，且BD:DC=m:n，E是AD上一点，AE:ED=p:q，BE的延长线交AC于点F，求AF:FC的值。,B,A,C,D,E,F,函数的最值一、求下列函数的最大值或最小值：；二、求下列函数的最大值和最小值：，；，三、求下列函数的最大值和最小值：，四、求下列函数的最大值和最小值：，五、求下列函数的最大值和最小值：,多种功能问题设计,多种功能问题,基础知识,基本技能,基本方法,实际应用,注意事项,探究能力,“用字母表示数”问题设计一、数和数量关系1.(1)练习簿的单价为0.5元，100本练习簿的总价是多少？(2)练习簿的单价为a元，100本练习簿的总价是多少？2.父亲的年龄比儿子大28岁。如果用x表示儿子现在的年龄，那么父亲的年龄是_岁。3.小明每小时走v千米，小时走_千米；36分钟走_千米；t小时走_千米。4.小聪家离学校S千米，小聪骑车上学，若每小时行10千米，则需_小时；若每小时行v千米，则需_小时。二、数学规律1.三角形面积公式和圆面积公式。2.乘法结合律和分配律。,三、拓展延伸1.体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元，一个排球c元。请说出下列各式表示什么？(1)a+b；(2)500-3b；(3)2(a+b+c)。2.请编一个实际问题，它的结果用式子500-3b表示。3.根据图形填写下表：,多种层次问题设计,基本题,初步运用题,综合运用题,灵活运用题,一次函数1.填写下列表格：2.已知一次函数y=kx+b的图像为求k，b。,2,3,o,x,y,3.已知A、B两地相距80千来，甲、乙两人沿同一条公路从A地到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，DE、OC分别表示甲、乙离开A地S(千米)与时间t(小时)的函数图像，求：(1)甲、乙的速度分别为多少千米/小时？(2)甲、乙离开A地的路程S与时间t的函数关系式。(3)在乙走后多少小时甲乙两人相遇，相遇点离开A地多少千米？,80,40,o,E,C,D,3,1,4.一水库有进水闸、放水闸各一个，单独进水4小时，可以装一库水，单独放水6小时，可以放空一库水。当水库中水占水库水的1/4对，同放进水闸和放水闸。设两闸开放时间为x(小时)，水库中水占水库的几分之几用y(库)表示。(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数的图像；(3)求水库中水从1/4到半库水时，两闸开放的时间。,研究问题设计,原始问题,一般化,逆向探究,迁移,拓展,推广,多种解法,连结四边形各边中点所得的四边形1.多种证法,2.拓展推广,3.进一步探究规律,4.再延伸,激活课堂,激活课堂,创设情境激发兴趣,不断设问启发思维,学生参与师生互动,方法确当气氛活跃,随机应变灵活调控,学生参与师生互动,行为参与,情感参与,学生参与,智力参与,行为参与,专心听讲,踊跃发言,仔细观察,认真操作,认真答问,合作交流,高水平的智力参与,分析性思维,创造性思维,元认知控制,批判性思维,认知策略,远迁移能力,分析性思维,比较,分类,抽象,概括,归纳,类比,试验,综合,分析,演绎,猜想,想象,批判性思维,质疑,评价,判断,识别,创造性思维,多变,独特,新颖,多元,认知策略,转化,猜想,构造,分解,推理,逆向,元认知控制,监控,调节,计划,远迁移能力,拓展,综合运用,推广,深化,指导高水平智力参与,提供好问题,启发引导,指导监控,活化知识,讨论交流,搭脚手架,情感参与,急切求知,充满自信,身心投入,跃跃欲试,气氛活跃,洋溢愉悦,激励情感参与,充满激情,积极评价,激发兴趣,不断激励,认真倾听,方法确当气氛活跃,数学教学模式,讲练结合模式,实践活动模式,讨论交流模式,探究发现模式,问题解决模式,复习总结模式,随机应变灵活调控,学生回答有困难,学生回答有错误,学生有不同解法,学生有不同看法,学生提出问题,启发,引导,研究,讨论,鼓励,学生可能发生的情况解决的方法,学生发展,学生发展,全面发展,全体发展,个性发展,持续发展,四、数学教学案例的问题设置,1.案例的结构(1)主题背景(2)情境描述(3)问题讨论(4)反思研究,2.问题的设置从问题性质来分(1)开放性问题(2)诊断性问题(3)搜索性问题(4)挑战性问题(5)行动性问题(6)排序性问题(7)预测性问题(8)假设性问题(9)扩展性问题(10)普遍性问题,从问题内容来分教学的窗口中学数学教学案例集(1)数学问题(2)评价学生的思维(3)教学法问题(4)背景问题(5)拓展,从案例的各个侧面和层次提问题数学教育个案学习1.你对这个个案的第一印象是什么？2.你把它与自己的什么经历联系起来？3.哪些整体的、局部的或细节的东西引起你的思考？4.个案中的学生、教师各有什么特点？5.个案中有什么展开的阶段和展开的侧面？,(1)数学问题(2)教学问题(3)学生问题,变量与函数课例一、创设情境二、探究新知1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，填下面的表，指出题中有哪些量，并用含t的式子表示s。,2.每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？3.某地在24小时内的温度T随着时间t的变化如图所示。(1)8时的温度是多少？14时的温度是多少？(2)图中有哪些量？,T,t,O,3.抽象概括4.概念运用例1购买x支签字笔，单价为3元，总价为y元，根据题意填表：(1)求y随x变化的关系式；(2)当购买8支签字笔时总价是多少？,例2下图是某物体的抛射曲线，其中s表示物体与抛射点的水平距离，h表示物体的高度。(1)这个图像反映哪两个变量之间的关系？(2)根据图像填表(3)高度h是距离s的函数吗？,5.概念辨析下列图像，哪个表示y是x的函数？6.归纳小结(1)收获(2)提示(3)困惑7.布置作业,一、数学问题1.函数的本质是什么？2.函数概念是如何形成的？3.函数概念在数学中的地位如何？4.函数的图像与方程的曲线是不是一样的？,二、教学问题1.函数概念在中学数学中的地位和作用是什么？2.初中函数概念的目标定位，第一课时应达到什么要求？3.函数概念中蕴含哪些数学思想方法？如何渗透？4.如何才能让学生正确和深刻理解函数概念的本质？5.如何运用反例帮助学生理解和掌握函数概念？6.如何选择合适的数学原型？7.如何让学生经历函数概念的形成过程？,三、学生问题1.学生学习函数概念为什么难，难在哪里？2.课堂中学生的主体作用发挥如何？3.学生开展了哪些思维活动？,五、数学教学案例的研讨,1.事前准备2.案例分析3.案例讨论4.反思5.研究6.教学设计7.教学实践,勾股定理课例,课例一1.诱发新知一艘轮船以16海里/小时速度离开港口向正东方向航行，另一艘轮船同时也从该港口以12海里/小时速度正北方向航行，1小时后它们相距多远？2.分析引导拼图游戏8张全等直角三角形纸片和3张大小不等的正方形纸片，且3张正方形纸片的边长分别等于直角三角形纸片的三边长。开展小组比赛，要求把这些纸片拼成两个既无缝隙，又不重叠的正方形。,3.动手探究4.猜想发现,5.介绍定理定理的历史背景6.再证定理7.学以致用(1)计算前面的轮船航行问题(2)在中，=3，=4，=？(3)在Rt中，=3，=4，=？(4)在Rt中，C=90，=3，=4，=？,8.课堂小结学生小结：(1)知道勾股定理(2)用拼图方法证明勾股定理(3)知道有关勾股定理的历史知识9.作业拓展(1)(2)查阅勾股定理相关资料，写一篇对勾股定理认识的日记。,课例二1.创设情境向宇宙发射勾股定理图形2.探究定理,(1)研究上述图形面积之间的关系(2)利用几何画板改编直角三角形的大小，观察所得规律S(1)+S(2)=S(3)是否成立(3)研究直角三角形三边之间的关系(4)非直角三角形是否有这样的性质,3.证明定理介绍勾股定理历史,4.定理应用例1在Rt中，C=90，BC=，AC=，AB=(1)已知=1，=2，求？(2)已知=15，=17，求？(3)已知，求？例2如图，甲船以15千米/小时的速度从港口A向正南方向航行，同时乙船以20千米/小时的速度从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距多少千米？,A,C,B,5.巩固练习(1)根据加菲尔德设计的图形证明勾股定理。(2)解九章算术中的问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？6.欣赏勾股树7.小结(1)研究内容(2)研究方法(3)研究结论(4)定理证明方法8.作业查阅有关勾股定理的资料,课例三1.前置作业(1)如图，在Rt中，C=90，=1，=1时，三个正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？(2)当=3，=4时呢？探究直角三角形三边之间的关系。2.小组交流,3.小组汇报，全班交流(1)图1中，正方形P的面积=1，正方形Q的面积=1，正方形R的面积=RtABC的面积4=2。因此，正方形P的面积+正方形Q的面积=正方形R的面积。(2)图2中，=3，=4时，正方形P和Q的面积分别是=9，=16，通过拼补和数格子可以发现，正方形R的面积=25。,(3)图3中，正方形R中四个直角三角形面积分别为=6，中间小正方形面积=1，因此正方形R的面积=46+1=25。(4)图4中，大正方形边长为7，正方形R的面积=77-46=25。,4.课堂生成，深化已知RtABC中，C=90，两直角边长分别为、，如何求正方形R的面积。得出勾股定理。,5.巩固应用(1)在Rt中，C=90，=6，=10，求。(2)在