高二数学导数（续）苏教版知识精讲

高二数学导数（续）苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数（续）二. 教学目标： 1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法 2. 通过实例，了解函数的单调性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值与导数的关系。 3. 体会定积分的基本思想和内涵，初步了解定积分的概念。三. 知识要点：（一）导数在研究函数中的应用 1. 单调性 （1）定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数。 （2）用导数求函数单调区间的步骤： 求函数f(x)的导数f(x) 令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间 令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间 2. 极值点 （1）极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y=f(x0)，x0是极大值点。 （2）极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y=f(x0)，x0是极小值点。 极大值与极小值统称为极值。注意以下几点： （）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。 （）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f(x0)是极大、极小值的方法： 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。 （v）求可导函数f(x)的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f(x) （2）求方程f(x)=0的根 （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。 3. 最值 （1）函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象。图中与是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值是。 注意：（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的。 (2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有。 2. 利用导数求函数的最值步骤: 设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求在内的极值； （2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值。（二）定积分 定义：一般地，设函数f(x)在区间a,b上有定义，将区间a,b等分成n个小区间，每个小区间长度为x，（），在每个小区间上取一点，依次为，作和，如果x无限趋于0，无限趋于常数S，那么称S为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记为 定积分的几何意义是：在区间a,b上曲线与x轴所围图形面积的代数和（即x轴上方的面积减去x轴下方的面积）【典型例题】 例1. 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x 令6x212x0，解得x2或x0 当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数 当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数 令6x212x0，解得0x2 当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数 例2. 证明函数f(x)=在(0，+)上是减函数。 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2(0，+)设x1x2 f(x1)f(x2)= x10，x20，x1x20 x1x2，x2x10， 0 f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)= 在(0，+)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) f(x)=( )=(1)x2=，x0， x20，0. f(x)0， f(x)= 在(0，+)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些。如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。 例3. 求y=x34x+4的极值。 解：y=(x34x+4)=x24=(x+2)(x2) 令y=0，解得x1=2，x2=2 当x变化时，y，y的变化情况如下表-2(-2,2)2+00+极大值极小值 当x=2时，y有极大值且y极大值= 当x=2时，y有极小值且y极小值= 例4. 求函数在区间上的最大值与最小值。 解：先求导数，得 令0即解得 导数的正负以及，如下表x-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/000y1345413从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4。 例5. 计算定积分 解：= 例6. 计算定积分 解：计算可得A的面积为9，B的面积为4，从而【模拟试题】 1. 下列说法正确的是( ) A. 函数的极大值就是函数的最大值 B. 函数的极小值就是函数的最小值 C. 函数的最值一定是极值 D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值 2. 函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x) ( ) A. 等于0B. 大于0C. 小于0D. 以上都有可能 3. 函数y=，在1，1上的最小值为( ) A. 0B. 2C. 1D. 4. 确定下列函数的单调区间 （1）y=x39x2+24x（2）y=xx3 5. 求下列函数的极值. （1）y=2x2+5x （2）y=3xx3 6. 计算下列定积分 （1）（2） （3）（4）【试题答案】 1. D2. A3. A 4. （1）解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4) 令3(x2)(x4)0，解得x4或x2 y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2) 令3(x2)(x4)0，解得2x4 y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4) （2）解：y=(xx3)=13x2=3(x2)=3(x+)(x) 令3(x+)(x)0 解得x y=xx3的单调增区间是(，) 令3(x+)(x)0 解得x或x y=xx3的单调减区间是(，)和(，+) 5. （1）解：y=(2x2+5x)=4x+5. 令y=0，解得x= 当x变化时，y，y的变化情况如下表:0+