高二数学二项式定理人教版1知识精讲

高二数学高二数学二项式定理二项式定理人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容 二项式定理 二. 重点、难点 1. 展开式第项 n ba)( 1r rrnr nr baCT 1 2. nn nnnn CCCC2 210 1531420 2 n nnnnnn CCCCCC 3. 利用通项公式，求某一项的系数。 4. 利用赋值求系数和。 5. 关于恒等式的证明。 6. 关于系数最大的项的计算。 7. 利用二项式展开求余数。 【典型例题典型例题】 例 1 展开式第 9 项与第 10 项二项式系数相等，求 x 的一次项系数。 n x x) 2 ( 3 解：解： 98 nn CC 17n 32 17 1 2 r r r r nr xxCT 1 32 17 rr 9r 3949 171 2 xxCTr 其一次项系数为xCT 99 1710 2 99 172 C 例 2 展开式前三项系数成等差数列，求项的系数。 n x x) 2 1 ( 2 x 120 2 1 2 4 1 nnn CCC089 2 nn8n 2 8 81 ) 2 1 ( r rrr r xxCT 2 2 8 r r4r 2 5 8 35 xT 例 3 7 710 7 ) 13(xaxaax 则 7210 aaaa 7531 aaaa 6420 aaaa 解：解：令 1x 7210 7 4aaaa 令 1x 73210 7 2aaaaa 相加 77 6420 24)(2aaaa) 12(2 76 6420 aaaa 两式相减 ) 12(2)(2 77 71 aa) 12(2 76 71 aa 例 4 则 100 10010 100 ) 1() 1()21 (xaxaax 9931 aaa 令 tx1tx1 100 1010 100 )32(tataat 令 1t 10010 100 5aaa 令 1t 10010 1aaa 相减 )(215 9931 100 aaa2/ ) 15( 100 9931 aaa 例 5 展开式中 x 的奇数次项系数和。 4432 )1 (xxx 解：解： 16 1610 4432 )()1 (xaxaaxfxxx 令 1x 160 4 4aa 令1x 163210 4 2aaaaa 相减 )(216256 1531 aaa 120 1531 aaa 例 6 求证： 2 22120 ) !( )!2( )()()( n n CCC n nnn 令),0(x 2 ) 1 (2 1 ) 1 1)(1 ( x x x x x x 研究常数项 nnn x x x x 2 ) 1 () 1 1 ()1 ( 左)( 2210nn nnnn xCxCxCC)( 21110nn nnnn xCxCxCC 左常数项 22120 )()()( n nnn CCC 右常数项 ! )!2( 2 nn n C n n 例 7 展开式中项系数。 152 )1 ()1 ()1 ()(xxxxf 3 x （法一）1820 4 16 3 15 3 4 3 3 CCCC （法二）时1x x xx x xx xf )1 ()1 ( )1 (1 )1 (1)1 ( )( 1615 分子项系数为 4 x 4 16 C 的项系数为)(xf 3 x 4 16 C 例 8 展开式中的常数项。 10 2 2 )2 1 ( x x 10 2 2 )2 1 ( x x 20 ) 1 ( x x 常数项为 rrr r xxCT 20 201 10r 10 20 C 例 9 的展开式项系数。 62) 321 (xx 5 x 解：解：原式 66 )1 ()31 (xx)3()3( 66 6 11 6 0 6 xCxCC 22 6 1 6 0 6 xCxCC 项系数为 5 x)(33)(33)( 1 6 44 6 2 6 33 6 33 6 22 6 4 6 1 6 5 6 0 6 CCCCCCCCCC 3 0 6 55 6 CC168 例 10 除以 7 的余数 2000 10 分析：分析： 10017143 6666662000 ) 11001(100)1000(10010271001001pk 余 2 另解：另解： 200020002000 37)37(10k 10001000 )27(797kk 27) 17(2782727 3333331000 qppp 余 2 例 11 时，展开式中最大项为第几项。5x 15 )1 (x 解：解：设项为最大项1r 1 1 2 1 1 r r r r T T T T 1 1 11 11 rr n rr n rr n rr n xC xC xC xC 15 1 15 15 16 1 )( 1 1 1 r r r r xrn r x r rn 6 74 6 80 r r 最大13r 14 T 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1. 的展开式中有连续三次系数之比为，求常数项。 n x x) 1 ( 3:2:1 2. 展开式中各项系数的绝对值之和。 323 )32()1 (xxx 3. 除以 28 的余数。 100 3 4. （）)2(23 1 n nn 2,nNn 5. 的展开式的常数项。 5 ) 1 1 ( x x 6. 展开式中项系数。)1 ()21)(1 (nxxx 2 x 试题答案试题答案 1. 解：连续三项 k T 1k T 2k T 3:2:1: 11 k n k n k n CCC 3:2:1 )!1()!1( ! : )!( ! ! : )!1()!1( ! knk n knk n knk n 3:2:1) 1)( : ) 1)(1( :) 1(knknknkkk 14n5k 7 14 777 148 CxxCT 2. 解： 323 )32()1 (xxx 323 )533(xxx 9 9 2 210 xaxaxaa 令tx 9 910 323 )533(tataattt 、为正 为负 0 a 2 a 4 a 8 a 97531 aaaaa、 令 1t 3210 3 12aaaa 910 1728aaa 3. 分析：分析：3、9、27 ) 1(2828 3) 128(32733 3333 33 271 33 330 33 3333100 CCC 328 k 余 25 4. 展开最少四项3n nn ) 12(3 )2(22222) 12(3 11110 nnCC nnnn n n n nn 5. 原式 5 1) 1 ( x x 5 5 14 5 23 5 32 5 41 5 50 5 ) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (C x xC x xC x xC x xC x xC 常数项为51 5 5 1 2 3 5 2 4 1 5 CCCCC 6. 设展开式中项系数)1 ()21)(1 ()(nxxxxfn 2 x n a 时 1n0 1 a 时 2n)()1 ()( 1 xfnxxf nn )1(21 (1 )1 ( 2 1 xaxnnx n 2 ) 1( )( 3 1 2 1 xnax nn nnxxf nn ) 1(