高二数学教案：不等式的证明VIP

数 学教案【教学内容、目标】6.4 6.5不等式的证明（一）（二）学习目标1、能灵活运用比较法两个数的大小。2、比较法可分为作差法和作商法，会用比较法证明不等式。3、会灵活应用综合法证明简单的不等式。4、掌握用分析法和反证法证题的思路和叙述方法。5、熟悉适合用分析法和反证法证明的不等式的题型。【知识讲解】1、比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法（简称作差法）和商值比较法（简称作商法）。2、“作差法”的理论依据是不等式的基本性质：“”，其一般步骤为“作差变形判断符号”。其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和形式（如例1），或几个因式的积（如例2），当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法或配方法判断符号。3、“作商法”理论依据是：若，则“”，其一般步骤为“作商变形判断商与数1的大小关系”。4、一般地，证明幂、指数不等式，常用作商法（如例4），证对数不等式，常用作差法。5、当“差”式或“商”式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论。6、综合法是指从已证不等式或问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。7、分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。8、分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁。因而证不等式时，常用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证题过程。9、有时解题，需一边分析，一边综合，称之分析综合法，或称两头凑法（如例2）。两头挤法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辨证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。10、用反证法证明不等式，常从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定命题成立。但要注意对结论的反面要一一否定，不能遗漏，方能得出原不等式成立。【典型例题分析】例1：已知：，求证：。分析：左一右=。当时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项并入前两项中去，于是想到，问题便迎刃而解。证明：左一右=。，。因此：说明：恰当地“分拆”与“组合”是最常用的技巧，主要用于作差变形后的因式分解方面。例2：已知、，且，求证：。证明：，。又、，。例3：已知，均为正实数，且，求证：。分析：由于所比较的两式均为单项式，且为正值，故可作商与1比较，其中要用到指数函数性质，并由题意条件，得出与同号，再作分类讨论。证明：，由得： 或 当时，有。当时，有。说明：当所比较的两式均为多项式时，常用作差法与“0”比较；当所比较的两式均为单项式（或乘积时），常用作商法与“1”比较，但应注意除数应为正值。两式均出现了4个字母、，变形为后，把与看做两个整体字母，便减少了字母讨论的个数，代换的思想得到了体现。类似的问题还有：（）若，则；（）若，则；（）若， ，则以上不等式均可用作商法加以证明。例4：设，求证：。分析：可用作差比较法或作商比较法进行证明的。证明：用作差法证： 左边一右边=。原不等式成立。用作商法证：原不等式成立。例5：设、为不全相等的正数，试证：。证明：左边。、为不全相等的正数。，中的等号不可能同时成立，。说明：基本不等式和不等式的基本性质是用综合法证明不等式的基础，常用的基本不等式有：，同号，等。例6：若求的最小值。错解：，而且仅当，即时，上式等号成立。，即当时，取最小值。点击：当我们使用均值不等式求函数最值时，需要验证是否符合“一正（或符号相同）、二定、三相等”的条件，而在上述解法中，违背了“二定”这一条件。“二定”要求取内的任意一个值时，中不等号右边都是定值，错解中的右边却不是定值。正解：。 当且仅当，即时，取到最小值。说明：本例也不可以这样求解：，因为两次放缩后，能否取到，要看两个等号能否同时达到，而这里不能同时达到，故上述解法也是错误的。例7：设，求证：。分析：由于要证不等式的两边均为根式，故可先对两边平方根号再进行论证。证明：欲证：成立，只需证： 整理后，即证：成立，若，上式必然成立，若，只需证：成立，整理后，即证：成立。也就是要证明：，此式显然成立，以上各步均可逆，故所证不等式成立。说明：1、用分析法证题时，“要证”、“只须证”、“以上各步均可逆”等语言必须有，否则无法体现分析法的“执果索因”特点，“以上各步均可逆”是不了说明条件的充分性。2、本题的去根号两边平方用了两次，必须注意其非负性的条件才能成立。例8：设，求证：。分析：要证的不等式两边均含了绝对值，可利用分析法两边平方处理。证明：要证不等式：成立，只需证明：成立，即证：成立。整理后，即证：成立。若时，则上式显然成立，原不等式就成立。若时，则只需证：成立。整理后即证：成立，只需证：显然成立，以上各步均可逆，故原不等式成立。说明：分析法适用于根式不等式，也适用于两边含绝对值的不等式。例9：已知，且。求证：。分析：运用分析法，根据函数在上是减函数，不难把原不等式转化为证明。要证不等式在形式上提示我们可以运用不等式的平均值定理，但用了并未达到目的，故又要作调整：，令，则由，得，往后证明就较容易了。下面证法我们用综合法作表述。证明：设，则由，可以得到（等号成立当且仅当）。（*）。由于函数在上是减函数，故有。又由，可得。等号成立当且仅当。又，等号成立当且仅当或，但（*）中不能同时成立故“=”取不到。即。再由函数在上是减函数，于是由，可有。即。说明：不注意分析过程，仅看上述证明的表述，一定会觉得摸不着头脑。但这种综合法表述训练对提高我们的逻辑思维能力十分有益。如：下题的解法是否正确？为什么？例10：已知的最大值。解：，。即的最大值为。显然这种解法是错误的。因为取得这个最大值时，条件为且，从而必须有，即，而这是不可能的。错误的原因就在于两次等号不能同时取到。正确的解法，一是用Cauclry（柯西）不等式（高中阶段不要求），二是用三角换元，得出的最大值是。例11：已知，且，求证：；。分析：先用分析法，再用综合法证明：要证明，由于，因此只要证明，即证明。根据条件，只需证明。而这是可以由证得的，原不等式成立。说明：这里就是联合了分析法与综合法，实际上是以分析法为主。利用分析法，使证明的问题明朗化。证明：，在中已证得，要证原不等式成立只需证明，也就只要证明。而，成立。原不等式成立。说明：问题还是联合运用了分析法与综合法，只是的证明中用到了结果，也是常用的证题思路。例12：若，求证：不可能都大于1。分析：“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”，由于涉及到三个式子，它们出现的情况有很多类，此类问题的常用方法是考虑问题的反面，即“不都”的反面即为“都”，可用反证法来处理。证明：法一：假设且且均成立。则三式相乘有：，由于。同理：，且三式相乘得：。与矛盾，故假设不成立： 不可能都大于1。法二：假设且且。而。与矛盾，故假设不成立。原题设结论成立。说明：当直接证明有困难时可采用反证法，特别适用于至少型或至多型的数学问题；有时也可回避讨论。例13：设，且，求证：。分析：由已知条件能判断、的正负。而条件和待证结论间看不出有明显的关系，应采用分析法。证明：。欲证，只需证，即证，即证，即证。而上式显然成立，从而成立。说明：当待证的结论与已知条件无明显的关系时，宜采用分析法。例14：已知函数若、且，证明：。分析：本题为1994年全国高考试题，其意工不在考查三角不等式，而在考查代数证明的能力，要求把三角变换、三角函数性质的有关知识与不等式证明的基本方法结合起来。证明：要证明，即证明，只要证，只要证，由于、，故，。，故只要证，即证，只要证。即证。这由、，是显然成立的。因此，。说明：当然本题也可以用综合法证明。有时也用分析法探路然后用综合法作表述。例15：设且，求证：。错证：假设不等式不成立，则。即。由已知，因此是成立的。而且以上各步均可逆，所以原不等式成立。点击：虽然，由可推出，但是，由却无法推出，这样就不能有“以上各步均可逆”。犯了“不能推出的错误”。正解：要证：，又，故只要证：，。说明：本题主要采用了分析法证明。在证明过程中，我们逐步寻求每一步论断成立的充分条件，直到得出一个已知成立的论断为止。本讲小结比较法 思路：作差将差变形判断差的正负得出结论。由作差到结论，是利用“比较大小的依据”；变形的目标是便于判断其正负。作差后“变形”的方法常见的有以下几种：将差变形为常数，或者变形为一个常数与几个平方和的形式，常用配方法，利用实数特征判断差的符号；将差变为几个因式的积的形式，常用分解因式法。总之，要明确变形的目的是便于判断差的符号，方法不限定。也就是说，关键是变形的目标。例如，把差变形为“”也能判断它是正的，尽管它既不是平方和的形式，也不是分解因式的结果。如果是三角式，最后将它变为“”，也能判断它为负，等等。比较法，有时也可以作商：时，。因此，对于两个都是正的数或式子，证明也可以“作商变形判断与1的大小比较得出结论”。综合法 是由因导果，即从已知条件或已知的真命题出发，一步步推出结论。分析法 用分析法证题时要注意语言叙述的“格式”为：要证只须证。此法往往是在用综合法不易论证时采用。反证法 用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。例如要证不等式AB，先假设，根据题设及其它性质，推出矛盾（可以是和已知条件矛盾、也可以和已证的结论、性质等矛盾、还可以和假设矛盾），从而肯定AB成立。【同步练习】 1、下列命题中的真命题是（ ） （A）若a，b，cR，且ab，则ac2bc2 （B）若a，bR，且ab0，则2 （C）若ab，cd0，则 （D）若aR，则a2+32a 2、已知a0，b0，则中最大的是（ ） （A） （B） （C） （D） 3、已知实数a，b，c满足a+b+c=0，abc0，则的值（ ） （A）恒为正值 （B）恒为负值 （C）恒为非负值 （D）正负不能确定 4、设a0且a1，A=loga(a3+1),B=loga(a2+1),则A、B 的大小关系为（ ） （A）AB （B）AB （C）A=B （D）无法确定 5、已知实数x，y满足x+y-4=0，则x2+y2的最小值为（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 6、x0，y0，且x+y=1，则（-1）（-1）的最小值为 。 7、a0，且1，则与的大小关系为 。 8、设x=，则x+y的最小值为 。 9、已知a0，b0，求证：。 10、已知a、b、c都是正数，求证：a。 11、求证：a+b+c0是a3+b3+c33abc的充要条件。 12、已知a0，b0，c0，a+b+c=1，求证：。 13、若x，y0，且，求x+y的最小值。 14、试用分析法证明：若a0，b0，a+b=1，则3a+3b4。 15、已知x2+xy+y2=3，求证：2x2+y26。 16、求证：2（【参考答案】12345DCBAC 提示： 1、a3+3=a2+1+22+2a2a。 3、（a+b+c）2=0=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)a2+b2+c20 ab+bc+ca0又abc0 4、a3+1-(a2+1)=a2(a-1) 当a1时，a3+1a2+10，AB 当0a1时，0a3+1a2+1 AB(此时logax为R+上的减函数) 5、x+y=4；x2+y2 另解 y=4-x x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x2-4x+8)8 6、 9 同理 =4+1+2 7、 0b1 a-b-ab0 8、 -1 令y=sin 取 则x=x+y=sin+cos= -1x+y注：本题回顾三角函数有关知识。 9、证明： = =a0，b0 （当a=b时取“=”） (当a=b时取“=”) 10、证明： = 由于式子两边a、b、c具有轮换对称性，故不妨设abc ，同理1 ，1 且右边0 a2ab2bc2cab+cbc+aca+b 11、证明：a3+b3+c3-3abc=a3+（b+c）3-3b2c-3bc2-3abc=（a+b+c）a2-a（b+c）+（b+c）2-3bc（a+b+c）=（a+b+c）a2+b2+c2-ab-ac-bc=（a+b+c）(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20恒成立，故若a+b+c0，则a3+b3+c33abc反之也成立。a+b+c0是a3+b3+c33abc的充要条件。 12、证明：将1=a+b+c 代入 左边=1+ 3+2+2+2=9。（“=”当且仅当a=b=c时成立） 原不等式成立 13、解：x+y=（x+y）（）=2+3+ “=