高二数学多面体与球人教版

高二数学高二数学多面体与球多面体与球人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容 多面体与球 二. 重点、难点 1. 欧拉公式：2EFV 各面棱数之和=2 倍棱数 各顶点引出棱数之和=2 倍棱数 2. 球： 2 4 RS 球 3 3 4 RV 球 3. 球面距离的计算： （1）求线段 AB （2）在中利用余弦定理求AOBAOB （3）AB 的球面距离为R 【典型例题典型例题】 例 1 填表 棱长为 a正四面体正六面体正八面体 全面积 2 3a 2 6a 2 32a 体积 3 12 2 a 3 a 3 3 2 a 成异面直线的棱3 对24 对24 对 相邻两面二面角 3 1 arccos 90 3 1 arccos 内切球，外接球半径 a 12 6 a 4 6 a 2 1 a 2 3 a 6 6 a 2 2 例 2 两个平行平面截半径为 5 的球，截面周长为、，求两个平行平面间的距离。68 3 1 r4 2 r 两圆到圆心距离为 4 或 3 两平面在圆心同侧 距离为 1 两平面在圆心异侧 距离为 7 例 3 球面距离，地球半径为 R，求 A、B 两地的球面距离。 （1）A 地：西经 50赤道上 B 地：西经 110 赤道上 球面距离为6050110AOBR 3 （2）A 地：东经 70 北纬 20 B 地东经 70 南纬 70 球面距离为907020AOBR 2 （3）A 东经 20北纬 60B 西经 160北纬 60 北纬 60圆半径为 AB 为直径 AB=R 2 R 3 AOB 球面距离为R 3 （4）A 东经 30赤道上 B 北纬 45东经 120 球面距离为OBOA 90AOBR 2 例 4 求半径 R 的球的内接正四棱柱的体积最大值。 解：解：底正四棱柱，底面边长为 a，侧棱长为 h 222 24ahR hhRhaV)4( 2 1 222 2 1 2)4)(4( 2 1 22222 hhRhR 33 22222 9 38 ) 3 244 ( 2 1 2 1 R hhRhR 此时，Rh 3 32 例 5 正三棱锥底面边长为 1，侧棱长为 2，求内切球，外接球半径。 P A C DH B 解：解： 2 15 PD 2 3 CD 6 3 3 1 CDDH 3 3 3 2 CDCH 3 33 PH 222 )(HCPOPHOC 即 3 1 ) 3 33 ( 22 RR 11/332R 222 PMMIPIDHDM 222 )()(DHPDMIHIPH 222 ) 6 3 2 15 () 3 33 (rr 334 153 r P O D H C M D H I P C 例 6 某元素单晶体为简单几何体，只有三角形和八边形两种晶面，共有 24 个顶点，以 每个顶点为端点均有三条棱，试计算该晶体为几个三角形晶面。 设三角形 x 个，八边形 y 个 24VyxF 243 2 1 )83( 2 1 yxE 有 8 个三角形晶面 6 8 36224 2 1 )83(36 y x yx yx 例 7 已知正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），等边圆锥（轴截面为正），球体积 相等，则表面积的大小关系。 设体积为 V，正方体棱长为 a，等边圆柱底面半径为 r1，等边圆锥底面半径为 r2，球 半径为 r3。 3 aV 3 Va 32 2166 aS正 3 2 V 3 1 2 rV 3 1 2 V r 32 1 546rS柱 3 2 V 3 2 3 3 rV 3 2 3 V r 813 3 2 2 rS锥 3 2 V 3 3 3 4 rV 3 3 4 3 V r 32 3 364rS球 3 2 V 显然： 球柱正锥 SSSS 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1. 已知一个简单多面体，每个顶点都有三条棱，那么（ ）VF2 A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 2. 一个正 n 面体有 8 个顶点，每个顶点有 3 条棱，则 n=（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 如果四面体每个面均不是等腰，那么其长度不等的棱的条数最少为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 直径为 6m、8m、10m 的铁球，熔成一个球，这个大铁球直径为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 5. 正方体内切球，外接球半径之比为（ ） A. B. C. D. 2:13:12:13:2 6. 四个半径为 r 的小球，两两相切放在桌面上（下面三个上面一个）求上面小球距桌面 的距离。 C A BD 试题答案试题答案 1. B 2. C 3. A