高二数学常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义人教实验B版（文）

高二数学常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义人教实验B版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：常用逻辑用语、椭圆和双曲线的定义、标准方程及几何性质二. 本周学习目标：命题与量词，含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式，四种命题的关系，充分、必要条件。掌握椭圆和双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求其方程，掌握其几何性质。了解它们的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与椭圆，直线和双曲线的位置关系的判断方法。三. 考点分析1、椭圆：2、双曲线：3、双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：椭圆双曲线方程、的关系图形范围对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点对称轴：轴、轴对称中心：原点顶点、长轴长，短轴长、实轴长虚轴长离心率，（），渐近线无有两条，其方程为圆锥曲线的几何性质，圆锥曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质有关离心率、渐近线的问题以及圆锥曲线的第二定义的应用关键是要注意数形结合、方程思想及等价转化思想的运用理解直线与椭圆，双曲线的位置关系，能判定直线与二者的位置关系，会求直线截圆锥曲线所得的弦长，处理与弦长、弦的中点有关的问题对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，要重视渐近线的发现和论证过程，明确双曲线的渐近线的作用，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形椭圆是封闭曲线，没有渐近线。4、求曲线方程的基本程序：若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，利用定义求解较简便5、使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程为，这里，是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定6、命题与量词，含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式，四种命题的关系，充分、必要条件。【典型例题】例1. 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线的方程分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得是弦中点，故得所以所求直线方程为分析二：设弦两端坐标为、，列关于、的方程组，从而求斜率：解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得得将、代入得，即直线的斜率为所求直线方程为注：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦的中点轨迹（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理的应用”及“点差法”有关二次曲线的问题也适用例2. 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程解法一：设所求直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得 设直线与椭圆的交点为、，则是上述方程的两根，于是又为的中点解得故所求直线的方程为解法二：设直线与椭圆的交点为、为的中点，又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即故所求直线的方程为解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，由于中点为，则另一个交点为、两点都在椭圆上得由于过、的直线只有一条，故所求直线的方程为例3. 如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围解：由得即此方程无解由得或则的取值范围为或引申：（1）如果直线与双曲线有两个公共点，求的取值范围解析：直线与双曲线有两个公共点式方程有两个不等的根且（2）如果直线与双曲线只有一个公共点，求的取值范围解析：此时等价于（）式方程只有一解当即时，（）式方程只有一解当时，应满足解得故的值为或（3）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围解析：此时等价于（）式方程有两个不等的正根即（4）如果直线与双曲线的左支有两个公共点，求的取值范围（）（5）如果直线与双曲线两支各有一个交点，求的取值范围解析：此时等价于（）式方程有两个相异实根即即例4. 椭圆，与直线相交于、两点，是的中点若，斜率为（为原点），试确定椭圆的方程（如图）分析：注意利用弦长公式，计算比较复杂解法一：由方程组得设、，则，由题设得又解、得，椭圆方程为解法二：由得的方程为，由解得又由得所以即又因为得，由、求出，故所求椭圆方程为解法三：由得因为，所以直线的倾斜角为135又知是的中点，所以即同理求出点将、坐标代入椭圆方程，得解得所以所求椭圆方程为点拨：椭圆的两种形式的标准方程可统一写成，既能避免对焦点位置的讨论，又能使运算过程简化，而弦的中点问题常使用韦达定理来解决【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1、已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则的周长为（ ）A. 10B. 20C. 2D. 2、椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P到它的右焦点的距离是（ ）A. 15B. 12C. 10D. 83、椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（ ）A. 9B. 12C. 10D. 84、方程的曲线是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 不能确定5、若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6、若椭圆内有一点P（1，），F为右焦点，椭圆上有一点M，使的值最小，则点M为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7、已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程为_。8、与椭圆具有相同的离心率且过点（2，）的椭圆的标准方程是_。9、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条准线方程是且过点，则该椭圆方程是_。10. 已知椭圆C的焦点F1（，0）和F2（，0），长轴长为6，设直线交椭圆C于AB两点，则线段AB的中点坐标为_。三、解答题（本大题共4题，共50分）11、（12分）已知P为直线l：2xy30上的一点求过点P且与椭圆12、（13分）在双曲线的同一支上的不同三点与焦点F（0，5）的距离成等差数列，（1）求y1y2；（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标13、（12分）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程14、（13分）证明：若双曲线的弦和实轴所在直线垂直，则直线与直线的交点的轨迹是以已知双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆。试题答案1、D2、B3、A4、B提示：数形结合法，动点P（）到定点（）和直线的距离之比为5、D提示：由题意6、A提示：因为，设点M到右准线的距离为则，即从而过点P作准线的垂线，它与椭圆的交点就是7、提示：由于椭圆焦点为F（0，4），离心率为e，所以双曲线的焦点为F（0，4），离心率为2，从而c4，a2，b2.故所求双曲线方程为：8、或9、提示：设椭圆方程为，则所以椭圆方程为10、提示：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c，a3，从而b1，所以其标准方程是：.联立方程组，消去y得，.设A（），B（），AB线段的中点为M（），所以2即线段AB的中点坐标为（，）。11、解：依题意，可设双曲线的方程为这里a2b216，即双曲线的方程为因P是直线l与双曲线的一个交点（165a2）x212a2xa425a20当165a20时，144a44（165a2）（25a2a4）20a2（a421a280）令a421a2800得a25或a216当a216时，b216a20，不合，舍去故a25，即a2max5，此时双曲线的实轴最长故所求双曲线方程为12、（1）解：根据双曲线定义二，由A、B、C与焦点F（0，5）的距离A、B、C与上准线的距离依次为（2）证明：设AC的中点为M（x0，y0），AC的中垂线为l，其斜率为k，则l的方程是yk（xx0）6。由A（x1，y1），C（x2，y2）在双曲线13y212x21213上，及中点、斜率的关系，得，分解后，把、代入，得代入，整理得要使上式对一切实数k恒成立