高二数学圆的方程人教版（文）知识精讲

高二数学高二数学圆的方程圆的方程人教版（文）人教版（文） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 圆的方程 二. 本周教学重难点： 1. 重点： 圆的标准方程，一般方程，参数方程 2. 难点： 求圆的方程，直线和圆的相交弦，圆系问题 【典型例题典型例题】 例 1 求圆心在轴上，且过点 A（1，4） ，B（2，）的圆的方程。x3 解：方法一：解：方法一：设 222 )(ryax 22 22 9)2( 16)1 ( ra ra 5 2 r a 25)2( 22 yx 方法二：方法二： 设0 22 FEyDxyx 0 2 E 0E0 22 FDxyx 0294 0161 FD FD 21 4 F D 0214 22 xyx 方法三：方法三：设 222 )(ryax 9)2(16) 1( 22 aa2a5| CAr 25)2( 22 yx 方法四：方法四： ， 7 AB kCMAB 7 1 CM k 又 CM：) 2 1 , 2 3 (M) 2 3 ( 7 1 2 1 xy 设 C（，0）在 CM 上 a) 2 3 ( 7 1 2 1 0a2a 5|CA25)2( 22 yx 例 2 求过直线与已知圆的交点，且在两坐标轴073 yx0322 22 yxyx 上的四个截距之和为 8 的圆的方程。 解：解：设0)73(322 22 yxyxyx 令073)23()2( 22 yxyx 令， 0y073)2( 2 xx 同理：2 21 xx32 21 yy 8)32()2(2 0118 22 yyx 例 3 已知圆满足： 截轴所得弦长为； 被轴分成两段圆弧，其弧长的比y2yx 为； 圆心到直线 ：的距离为的圆的方程。1:3l02yx 5 5 解：解：设 222 )()(rbyax 当时， 0x02 2222 rbabyy2| 21 yy4)( 2 21 yy 44)( 21 2 21 yyyy4)(44 2222 rbab 1 22 ar 当时， 0y02 2222 rbaaxx| 2 | 21 b xx 22222 4)(44brbaa 22 2br 由、得： 又 到 的12 22 ab),(bal 5 5 d 或 5 5 5 |2| ba 1)2( 2 ba12 ba12 ba 或 或 12 12 22 ab ba 12 12 22 ab ba 1 1 b a 1 1 b a 2r 或4) 1() 1( 22 yx4) 1() 1( 22 yx 例 4（1）已知：，求过点（1，）的切线方程4 22 yx3 （2）已知：，求过点 P（3，1）圆的切线方程。4)2() 1( 22 yx 解：解： （1）43yx （2） 当斜率存在时，设 ：l)3(1xky 031kykx2 1 |312| 2 k kk 22 44)32(kk 12 5 k 斜率不存在时， 即3x)3( 12 5 1xy03125yx 注：注： （1）C：，P（，），则过点 P 圆的切线方程为： 222 ryx 0 x 0 yC 2 00 ryyxx （2）C：过圆上一点 P（，）与圆相切的直线方程为： 222 )()(rbyax 0 x 0 y 2 00 )()(rbybyaxax （3）C：（） ，P（，）0 22 FEyDxyx04 22 FED 0 x 0 yC 过 P 圆的切线方程：0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx 例 5 已知 P（5，0）和圆，过 P 作直线 与圆相交于 A、B，求弦 AB 中点16 22 yxl 的轨迹方程。 解：方法一：解：方法一：设 AB 中点 M（） ，则 A（） ，B（）yx, 11, y x 22, y x ： l)5( xky 16 )5( 22 yx xky 0162510)1 ( 2222 kxkxk 0)1625)(1 (4100 224 kkk 3 4 3 4 k ， 2 2 21 1 10 k k xx 2 2121 1 10 )10( k k xxkyy M：， 2 2 2 1 5 1 5 k k y k k x ) 3 4 , 3 4 (kk y x 代入中， （） y x k 2 2 1 5 k k x 05 22 xyx 5 16 0 x 方法二：方法二：设 A（，）B（，） 且 1 x 1 y 2 x 2 y16 2 1 2 1 yx16 2 2 2 2 yx 0)()( 21212121 yyyyxxxx 0)()( 21 21 2121 xx yy yyxx0 5 0 22 x y yx （在已知圆内部分）05 22 xyx 方法三：方法三：点 M 在以 OP 为直径的圆上 0)0()5(yyxx 05 22 xyx 注：注：以 A（）B（）为直径的圆的方程是： 11, y x 22, y x 0)()( 2121 yyyyxxxx 例 6 设 P（）是圆外的一点，过 P 作圆的切线，试求过两切点的切 00, y x 222 ryx 点弦所在的直线方程。 解：解：以 OP 为直径的圆：0)()( 00 yyyxxx 又 0 00 22 yyxxyx 222 ryx ：为所求直线方程 2 00 ryyxx 例 7 求与轴相切并与圆相外切的动圆的圆心的轨迹方程。y04 22 xyx 解：解： 设圆心为（） 4)2( 22 yxba, 222 )()(abyax 2)2( 22 aba4444 222 aabaa 当时， )0(8 2 aab0a0y )0(0 )0(8 xy xxy 例 8 已知中，A（） ，B（0，2） ，C（） （是变量） ，求ABC0 , 2sin1,cos 面积的最大值。ABC 解：解：设 C 点的坐标为（）则即yx, sin1 cos y x 1) 1( 22 yx 是以为圆心，以 1 为半径的圆 A，B（）) 1, 0( )0 , 2(2 , 0 且 AB 的方程为即2244|AB1 22 yx 02 yx 则圆心（）到直线 AB 的距离为1, 0 2 2 3 ) 1(1 |2) 1(| 22 C 到 AB 的最大距离为 2 2 3 1 的最大值是 ABC S23)2 2 3 1 (22 2 1 【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟） 一. 选择： 1. 点 P（）在圆的内部，则的取值范围是（ ）aa12, 15 1) 1( 22 yxa A. B. C. D. 1|a 13 1 a 5 1 |a 13 1 |a 2. 点 M（）是圆（）内不为圆心的一点，则直线 00, y x 222 ayx0a 与该圆的位置关系是（ ） 2 00 ayyxx A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 3. 点 P（）与圆的位置关系是（ ）5 , 2 m24 22 yx A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 不确定 4. 直线（）截圆所得弦长等于 4，则以、0cbyax0abc5 22 yx| a 、为边长的三角形一定是（ ）|b| c A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不存在 5. 圆上到直线的距离为的点共有（ ）0342 22 yyxx01 yx2 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6. 圆过点（）的最大弦长为，最小弦长为，则01264 22 yxyx0 , 1mn 等于（ ）nm A. B. C. D. 7210753310 2 23 5 7. 已知点 P（）在圆上，则、的取值范围是（ ） 00, y x sin82 cos83 y x 0 x 0 y A. 22, 33 00 yx B. 82, 83 00 yx C. 610,115 00 yx D. 以上都不对 8. 两圆与的位置关系是（ ） sin24 cos23 y x sin3 cos3 y x A. 内切 B. 外切 C. 相离 D. 内含 二. 填空： 1. 圆关于直线对称的方程是 。1)4()3( 22 yx0 yx 2. 圆上的点到直线的距离的最大值是 。4 22 yx3 yx 3. 已知点 P 是圆上的一个动点，点 A 是轴上的定点，坐标为（12，0） ，16 22 yxx 当 P 在圆上运动时，线段 PA 的中点 M 的轨迹方程是 。 4. 已知 A（1，1） ，C：一束光线从 A 出发经轴反射到 C 上的最短距 sin27 cos25 y x y 离是 。 三. 解答题： 1. 求与轴切于点（5，0）并在轴上截取弦长为 10 的圆的方程。xy 2. 已知圆 C 与圆 C1：相外切，并且与直线 ：相切于点02 22 xyxl03yx P（3，） ，求此圆 C 的方程。3 3. 已知一曲线是与两个定点 O（0，0） 、A（，0） （）距离之比为的点a0a) 1(kk 的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状。 4. 已知对于圆上任意一点 P（） ，不等式恒成立，求1) 1( 22 yxyx,0myx 实数的取值范围。m 试题答案试题答案 一. 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B 二. 1. 2. 3. 4. 1)3()4( 22 yx2 2 3 24)6( 22 yx226 三. 1. 解法一：设所求圆的方程为，并且与轴交于 A、B 两点， 222 )()5(bbyxy 由方程组 ，得 0 )()5( 222 x bbyx by 25 2 b 10| AB yy10|2525| 22 bbbb 25b 所求圆的方程为50)25()5( 22 yx 解法二：设所求圆的方程为)0()()( 222 rrbyax 圆与轴相切于点（5，0） x|br 5a 圆在轴上截得的弦长为 10， y 222 ) 2 10 (ra 由、得，5a25r 所求圆的方程为50)25()5( 22 yx 2. 解：设所求圆的圆心为 C（） ，半径为ba,r C（）在过点 P 与 垂直的直线上ba,l 又 圆 C 与 相切于点 P 3 3 3 a b l 2 |3|ba r 圆 C 与圆 C1相外切 1 2 |3| ) 1( 22 ba ba 由得0343ba 由得 解得或1|62|49264 2 aaa 0 4 b a 34 0 b a 此时或 或2r6r4)4( 22 yx36)34( 22 yx 3. 解：设 M（）是曲线上任意一点，则yx,k yax yx 22 22 )( 化简得02) 1() 1( 2222222 akaxkykxk 又 且 0k1k01 2 k0 11 2 2 22 2 2 22 k