高二数学期末复习之四复数

高二数学期末复习之四复数知识小结:1. 复数的单位为i，它的平方等于1，即.复数及其相关概念： 复数形如a + bi的数（其中）； 实数当b = 0时的复数a + bi，即a； 虚数当时的复数a + bi； 纯虚数当a = 0且时的复数a + bi，即bi. 复数a + bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） 复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示.两个复数相等的定义：.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若为复数，则若，则.（）为复数，而不是实数若，则.（）若，则是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）2. 复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.曲线方程的复数形式：为圆心，r为半径的圆的方程.表示线段的垂直平分线的方程.为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设是不等于零的复数，则.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.3. 共轭复数的性质： ，（a + bi） （） 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （）之差可能为零，此时两个复数是相等的4. 复数的乘方：对任何，及有 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论： 若是1的立方虚数根，即，则 .5. 复数是实数及纯虚数的充要条件：.若，是纯虚数.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 6. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：当时，若0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若0，则有二相等复数根（为共轭复数）.当不全为实数时，不能用方程根的情况.不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.范例分析实数？虚数？纯虚数？复数z是实数的充要条件是：当m2时复数z为实数复数z是虚数的充要条件：当m3且m2时复数z为虚数复数z是纯虚数的充要条件是：当m1时复数z为纯虚数【说明】要注意复数z实部的定义域是m3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件要特别注意复数za+bi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0 ，所以，代入得，故选解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z运算简化解：设z=x+yi(x，yR)将z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)当|z1|13时，即有xx6=0则有x=3或x=2综上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质其性质有：(3)1+2i+3+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，要记住常用的数据：，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设S1+2i+3+1000，则iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法【例5】若，求：解： 【例6】设z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+=0，问在（0，2）内是否存在使(z1-z2)2为实数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】这是一道探索性问题可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答【解】假设满足条件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2为纯虚数又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2R，故z1-z2为实数或为纯虚数又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，则由方程组得=sin，故cos=0，于是=或=若1-cos-a2=0，则由方程组得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，从而=或=综上所知，在(0，2)内，存在=或=，使(z1-z2)2为实数【说明】解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z0，z+=0z纯虚数以及z2RzR或z纯虚数（注：Re(z)，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部）解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立【例7】设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论【解】设|z|=r若a0，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数，从而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=()i若a0，对r作如下讨论：（1）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为实数解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=()（2）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=()i(a1)综上所述，原方程的解的情况如下：当a0时，解为：z=()i；当0a1时，解为：z=()，z=()i；当a1时，解为：z=()【说明】解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解【例8】已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.【解】由，解得，.方程的判别式.，由此得方程无实根.基础训练：1. 下列说法正确的是 C A0i是纯虚数B原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D是虚数2. 下列命题中，假命题是 A A两个复数不可以比较大小B两个实数可以比较大小C两个虚数不可以比较大小D一虚数和一实数不可以比较大小3. 已知对于x的方程+（12i）x+3mi=0有实根，则实数m满足 D 4. 复数1+i+等于 AAi B i C2i D2i5. 求同时满足下列两个条件的所有复数z：(1)z+是实数，且1z+6；(2)z的实部和虚部都是整数1t6=t2-400，解方程得又z的实部和虚部都是整数，t=2或t=6故z=13i或z=3i6. 已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数，则实数t=( )A B C- D-7. 当时，复数在复平面上对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C )A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆9. 已知z=2i，求z3zz+5z2的值。【分析】如果直接代入，显然比较困难，将z用三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考，可将条件转化为（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再将结论转化为z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困难了。【解】z=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2。10. 设zc，a0，解方程z|z|azi=0。边取模，得11. 下列命题中正确的是 D A方程|