高二数学简单几何体复习

简单几何体复习 本周内容：了解棱柱、棱锥、球的相关概念，掌握相关公式，并能熟练进行计算。本周重点：1. 简单几何体中点线面的位置关系。 2. 求角、和距离，球面距离的计算。 3. 体积公式及灵活应用。本周难点： 一、棱柱： 1. 有关概念：棱柱的定义、棱柱的底面、棱柱的侧面、棱柱的侧棱、棱柱的顶点、棱柱的对角线、棱柱的高、棱柱的表示法。2. 性质 (1)两底面与平行于底面的截面是全等多边形。(2)侧棱都平行且相等，侧面是平行四边形。(3)对角面是平行四边形。3. 分类1按底面边数分：三棱柱，四棱柱，2按侧棱与底面关系：斜棱柱(不垂直)，直棱柱(垂直)，正棱柱(底面是正多边形的直棱柱)。直棱柱性质：(1)侧面是矩形；侧棱互相平行相等垂直于底面；对角面是矩形；高线等于侧棱正棱柱性质：(1)两底面与平行于底面的截面是全等正多边形；各侧面是全等矩形(2)两底面中心连线垂直底面3四棱柱中特殊情况平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体。长方体：底面是矩形的直平行六面体。正方体：棱长都相等的长方体。长方体性质(1)长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。即：对角线交于一点且互相平分。(2)(3)4. 棱柱对角线条数：n(-3)(除同一平面内的3个顶点)棱柱对角面的个数：5. 侧面积：来源于侧面展开图(1)直棱柱侧面积：S直棱柱侧面积=ch(c为底面周长h为高)(2)斜棱柱侧面积：S斜棱柱侧面积cl(直截面周长c侧棱长l)(直截面：垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)6. 体积(1)V长方体=abc=sh (公理5)公理5：长方体的体积等于它的长宽高的积。V正方体=a3(2)公理6：祖暅定理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。(3)棱柱体积：V=sh二、棱锥 1. 基本概念：棱锥的定义、棱锥的底面、棱锥侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥的表示法。2. 分类： (1)三棱锥、四棱锥(2)斜棱锥正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥。3. 性质(1)定义(2)平行于底面与底面相似，面积比为高的平方比。正棱锥性质(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，叫正棱锥的斜高。(2)棱锥的高斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形(3)棱锥的高侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形4. 棱锥的截面如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。5. 侧面积斜棱锥侧面积：各侧面面积之和6. 体积：三、球1. 球的截面性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面。(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：2. 球的体积：半径为R的球的体积3. 球的表面积：半径为R的球的表面积S=4R24. 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；5. 两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。本周例题例1. 设M=正四棱柱，N=直四棱柱，P=长方体，Q=直平行六面体，则四个集合的关系为A. MPNQ B. MPQN C. PMNQ D. PMQN解析：理清各概念的内涵及包含关系答案：B例2. 如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC中点，EFBD=G。(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离d；(3)求三棱锥B1-EFD1的体积V。解：(1)证法一，连结AC，易知EFAC，又ACBDEFBDB1B底面ABCD，EFB1BEF平面BDD1B1，平面B1EF平面BDD1B1。证法二：ACBD，ACB1B，AC平面BDD1B1，又EFACEF平面BDD1B1，平面B1EF平面BDD1B1。(2)平面B1EF平面BDD1B1，作D1HB1G于H，则D1H即为所求距离d。画出对角面D1DBB1的平面图如下：显然D1HBB1BG。(3)例3. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.()证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂；()设，求二面角A1-AD-C1的大小。解法一：()设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，EDOB。AB=BC，BOAC又平面ABC平面ACC1A1，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。()连接A1E，由可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1，又由ED平面ACC1A1和ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1，作EFAD，垂足为F，连接A1F，则A1FAD，A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角不妨设AA1=2，则AC=2，所以二面角A1-AD-C1为60解法二：()如图，建立直角坐标系O-xyz，其中原点O为AC的中点设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c)则C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c)又所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线。()不妨设A(1,0，0)，则B(0,1，0)，C(-1,0，0)，A1(1,0，2)即BCAB，BCAA1，又ABAA1=ABC平面A1AD又E(0,0，1)，D(0,1，1)，C(-1,0，1)即ECAE，ECED，又AEED=EEC面C1AD即得所以二面角A1-AD-C1为60例4. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2(如图1)。将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连结A1B、A1P(如图2)()求证：A1E平面BEP；()求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；()求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示)解：不妨设正三角形的边长为3，则()在图1中，取BE的中点D，连结DF，AE：EB=CF：FA=1：2，AF=AD=2而A=60，ADF为正三角形又AE=DE=1，EFAD在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE。又BEEF=E，A1E面BEF，即A1E面BEP。()在图2中，A1E不垂直于A1B，A1E是面A1BP的斜线，又A1E面BEP，A1EBP，BP垂直于A1E在面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q则EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=BP=2，EBP=60，EBP为正三角形，BE=EP又A1E面BEP，A1B=A1P，Q为BP的中点，且，而A1E=1在RtA1EQ中，即直线A1E与面A1BP所成角为60()在图中，过F作FM于M，连结QM、QFCF=CP=1，C=60，FCP为正三角形，故PF=1又PF=PQ A1E面BEP，A1F=A1QA1FPA1QP，故A1PF=A1PQ 由及MP为公共边知FMPQMP故QMP=FMP=90，且MF=MQFMQ为二面角B-A1P-F的一个平面角。在RtA1OP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，MQA1P，在FCQ中，FC=1，QC=2，C=60，由余弦定理得在FMQ中，例5：如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，DAB为直角，ABCD，AD=CD=24B，E、F分别为PC、CD的中点。()试证：CD平面BEF；()设PA=kAB，且二面角E-BD-C的平面角大于30，求k的取值范围。解法一：()证：由已知DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF又PA底面ABCD，CDAD，故由三垂线定理知CDPD，在PDC中E、F分别PC、CD的中点，故EFPD，从而CDEF，由此得CD面BEF。()连结AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在PAC中易知ECPA，又因PA底面ABCD，故BC底面ABCD在底面ABCD中，过C作GHBD，垂足为H，连接EH由三垂线定理知EHBD从而EHG为二面角E-BD-C的平面角设AB=a，则在PAC中，有以下计算GH，考察底面的平面图，连结GD因故在ABD中，因为AB=a，AD=2A，得而，从而得因此由k0知EHG是锐角，故要使EHG30，必须解之得，k的取值范围为解法二：()如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为A(0,0，0)，B(a，0,0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a