计算机图形学8.ppt

Chapter4GeometricalTransformations,1.Vector(矢量）2.Matrix（矩阵）,MathematicsPreparationfortransformation,（1）两个矢量之和：,矢量运算(Vector),（2）两个矢量的点积：,（3）矢量的长度：,矢量运算,（4）两个矢量的叉积：,aij是矩阵中第i行第j上的元素。,上述矩阵记为A，或AmXn，或(aij)mXn。,矩阵(matrix),Cont.,definition：,m=n时：A称为方阵m=1时：退化为行向量(vector)n=1时：退化为列向量(vector)时：称为A=B,Cont.,单位矩阵：,零矩阵：,Cont.,矩阵加法：,矩阵加法满足的运算律：结合律交换律A+0=A,Cont.,矩阵数乘,Cont.,矩阵乘法：,矩阵乘法满足的运算律：结合律分配律AI=IA=A,不满足交换律！,Cont.,矩阵转置,矩阵转置运算律：,Cont.,矩阵行列式非奇异矩阵逆矩阵：非奇异矩阵具有逆矩阵,若把n维空间坐标叫做普通坐标,则相应的n+1维空间坐标叫做齐次坐标.,齐次坐标技术:用n+1维向量表示n维向量的技术,ordinarycoordinate,homogeneouscoordinate,(x，y),(hx，hy，h),其中，h是一个任意的非零标量,齐次坐标(homogeneouscoordinate),齐次坐标(homogeneouscoordinate),则(x，y)的齐次坐标为(x，y，1),Cont.,Representationof2Dtransformations,Rotate,scale,symmetry,shear,translate,Entirescale,project,代数式,矩阵式,3Dspace,右手直角坐标系,X,Y,Z,Points:,Algebraicrepresentationof3Dtransformations,Matrixrepresentation,Introducehomogeneouscoordinate,0001,变换的两种实现方法:(1)坐标系不变,图形变换;,(2)图形不变,坐标系变换.,Transformationmethod,4.12Dtransformations,Translate(平移)transformationsRotate(旋转)transformationsScale(缩放)transformationsReflect(反射)transformationsShear(错切)transformationsComposition(复合)of2Dtransformations,在二维坐标系中,将点P(x,y)在x、y轴方向分别平移tx、ty，得到点P(x,y)，则P点与P点的坐标关系为：,矢量形式为：P=P+T,Translatetransformations(平移变换),Cont.,用齐次坐标表示平移变换过程：,Whereas:,Translatematrix,Cont.,Translatinganobject:translateisanrigid-bodytransformationTranslatingeverypointoftheobjectTranslatingthekey-pointoftheobjectandre-definingtheobjectConversetransformation:,Rotatetransformations(refertoorigin),Cont.,则变换公式为：,Positive:anti-clockwiserotate(逆时针)Negative:clockwiserotate(顺时针),逆变换:,Cont.,Rotatinganobject（图元的旋转变换）旋转变换是刚体变换RotatingeverypointofobjectthroughthesameangleBerigid-bodytransformations:rotatingthekey-pointandre-definingtheobject,Cont.,固定某个点的旋转变换?,Scalingtransformations（1）,变换公式:,缩放变换是指对点的X，Y坐标值进行缩放。,Sx,Sy称为缩放系数，可取任何正数;S称为缩放矩阵。,缩放变换可使物体产生重定位，如右图所示，缩放比例不同，定位距离也不同。,当缩放系数大于1时，物体被放大，否则缩小；,当SxSy时，物体发生等比变换，否则发生差值缩放，产生变形。,Scalingtransformations（2）,Scalinganobject,Polygon（多边形）Scalingthevertexesandthenre-definingthepolygoncircle圆（中心对称图形）ScalingtheradiusPrimitivesdefinedbysomeparameters（给定定义参数的图形）Scalingtheparametersandre-definingtheprimitives,相对X轴对称：,Symmetrytransformations,变换公式:,对称变换是产生物体镜象的一种变换.,Cont.,相对Y轴对称:,Cont.,相对原点对称:,Cont.,相对y=x直线对称:,相对y=-x直线对称:,错切变换：保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该坐标值呈线性变化。坐标保持不变的坐标轴称为倚赖轴，其它坐标轴称为方向轴。(1)以y轴为依赖轴的错切变换(沿x方向的错切）即y不变，x的值随y的值而线性变化,Shx=tan,Sheartransformations,Shy=tan,(2)以x轴为依赖轴的错切变换,Cont.,Cont.,Twokinds:ShearalongxaxisShearalongyaxisGeneralrepresentationofshear:,b=0ord=0,变换合成,根据矩阵运算的性质，可推出二维基本变换的如下性质：平移变换和旋转变换具有可加性缩放变换具有可乘性,Rotatetransformationaboutarbitrarypoint,Supposethepointisthenthetransformationcanbecomposedbysomefundamentaltransformations,Cont.,Scalingaboutarbitrarypoint,Referencepoint:,fixuppointbeforeandafterscaling,Compositionoftranslate,scaleaboutorigin,andinversetranslatetransformations,Cont.,Namely:,Symmetryaboutarbitraryline,T,R,SY,作业：关于任意直线的对称变换,直线为y=x+b写出T总,Exercises,Exercise4.1Provethatwecantransformalinebytransformingitsendpointsandthenconstructinganewlinebetweenthetransformedendpoints.通过变换后的两个端点可定义变换后的直线,Exercises,Exercise4.2Provethattwosuccessive2Drotationsareadditive:证明两