高二数学高三新课：数学归纳法及其应用举例（理）人教版知识精讲

高二数学高三新课：数学归纳法及其应用举例（理）高二数学高三新课：数学归纳法及其应用举例（理）人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三新课：数学归纳法及其应用举例 二. 本周教学重、难点： 数学归纳法证明命题的步骤： （1）证明当取第一个值（如取或 2 等）时结论正确。n 0 n1n （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确。kn * Nk 0 nk 1 kn 由此可以断定，对于任意不小于的正整数，命题都正确。 0 nn 【典型例题典型例题】 例 1 用数学归纳法证明。 。 nnnnn2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 证明：证明： （1）当时，左边，右边=，命题成立。1n 2 1 2 1 1 2 1 （2）假设当命题成立，即 kn 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkkk 。 k2 1 则当时，左边n1 k 12 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkk 22 1 k 22 1 12 1 2 1 2 1 1 1 kkkkk 12 1 3 1 2 1 kkk ，所以时命题成立 ) 1(2 1 1) 1( 1 22 1 kkk 1 kn 由（1）和（2）知，命题对一切正整数均成立。 例 2 已知数列，计算猜想, ) 13)(23( 1 , 107 1 , 74 1 , 41 1 nn 4321 ,SSSS 的表达式，并用数学归纳法进行证明。 n S 证明：证明： 4 1 41 1 1 S 7 2 74 1 4 1 2 S 10 3 107 1 7 2 3 S 13 4 1310 1 10 3 4 S 于是可以猜想 13 n n Sn 下面用数学归纳法来证明 （1）当时，左边1n 4 1 1 S 右边 4 1 113 1 13 n n 猜想成立。 （2）假设当时，猜想成立，即kn 74 1 41 1 13) 13)(23( 1 107 1 k k kk 那么，当时1 kn ) 13)(23( 1 107 1 74 1 41 1 kk 1) 1(32) 1(3 1 kk )43)(13( 143 )43)(13( 1 13 2 kk kk kkk k 1) 1(3 1 )43)(13( ) 1)(13( k k kk kk 所以当时猜想也成立。1 kn 例 3 用数学归纳法证明：（）能被 64 整除。983 22 n n* Nn 证明：证明： （1）当时，能被 64 整除，假设，能被1n64983 22 kn 983 22 k k 64 整除。 （2）当时，1 kn898399) 1(83 222)1(2 kk kk ) 1(64)983(9 22 kk k 与 64 均能被 64 整除983 22 k k 及也能被 64 整除，所以时，命题成立，由)983(9 22 k k ) 1(64k1 kn （1） （2）可知时，命题成立。 * Nn 例 4 平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把nn 平面分割成个区域。 )2( 2 1 2 nn 证明：证明： （1）当 时，一条直线把平面分成两个区域，又，所以1n2)211 ( 2 1 2 时命题成立。1n （2）假设时，命题成立，即条满足题意的直线把平面分割成了kn k 个区域，那么当时，条直线中的条把平面分成了)2( 2 1 2 kk1 kn1kk 个区域。第条直线被这条直线分成部分，每部分把它们所在的)2( 2 1 2 kk1kk1k 区域分成了两块，因此增加了个区域，所以条直线把平面分成了1k1k 22 ) 1( 2 1 1)2( 2 1 kkkk 个区域，所以时命题也成立，根据（1） 、 （2）知，对一切的，2) 1(k1 kn * Nn 此命题均成立。 例 5 数列的通项公式，设，试求 n a 2 ) 1( 1 n an)1 ()1)(1 ()( 21n aaanf 的值，推导出的公式，并证明。)4(),3(),2(),1 (ffff)(nf 证明：证明： , 4 3 2 1 11) 1 ( 2 1 af 6 4 )1)(1 ()2( 21 aaf ， 8 5 )1)(1)(1 ()3( 321 aaaf 10 6 )1)(1)(1)(1 ()4( 4321 aaaaf 猜想：，证明如下： ) 1(2 2 )( n n nf （1）当时，公式成立1n 4 3 ) 11 (2 21 , 4 3 ) 1 ( f （2）假设时成立，即kn ) 1(2 2 )( k k kf 那么)1)() 1( 1 k akfkf )2( 1 1 ) 1(2 2 2 kk k 2 2 )2( 1)2( ) 1(2 2 k k k k 1) 1(2 2) 1( k k 由（1） （2）可知，对任何都成立。 ) 1(2 2 )( n n nf * Nn 例 6 对一切大于 1 的自然数，证明：。n 2 12 ) 12 1 1 () 5 1 1)( 3 1 1 ( n n 证明：证明： （1）当时，2n 2 5 3 4 ) 3 1 1 ( （2）假设时命题成立，即，那)2( kkn 2 12 ) 12 1 1 () 5 1 1)( 3 1 1 ( k k 么当时， 1 kn) 12 1 1)( 12 1 1 () 5 1 1)( 3 1 1 ( kk ) 12 1 1 ( 2 12 k k ，只需证明，只要证明， 12 1 k k 2 1) 1(2 12 1 k k k 384484 22 kkkk 此式显然成立。 故当时，不等式仍然成立。1 kn 由（1） （2）知，对一切（）不等式均成立。2nNn 例 7 是否存在常数，使等式ba、) 1(3)2()2( 3) 1(21nnnnn 对一切自然数都成立，并证明你的结论。2)()( 6 1 1bnannnn 解：解：令，得，令，得，整理得1n)1)(1 ( 6 1 1ba2n)2)(2( 6 2 4ba ，解得。 8)(2 5 baab baab 2, 1ba 下面用数学归纳法证明等式：=2) 1()2(3) 1(21nnnn1n 。 当时，等式成立。 假设时，等式成立，即)2)(1( 6 1 nnn1nkn 。则当) 1(21kk)2)(1( 6 1 12) 1()2(3kkkkkk 时， 1 kn2) 1(3 1) 1(2) 1(1kkk 1) 1(23) 1(kkk2) 1()2(3) 1(21kkkk ) 1321 (1kkk 。这表明当时，)3)(2)(1( 6 1 )2)(1( 2 1 )2)(1( 6 1 kkkkkkkk1 kn 等式成立。由可知，等式对一切都成立。n * N 例 8 某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为 25%，因为生产建设的需要，每年a 年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量。b n an （1）求的表达式； n a （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于，如果a 9 7 ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取）ab 72 19 30 . 0 2lg 解：解：（1）依题意得：；babaa 4 5 ) 4 1 1 ( 1 bbabaa) 4 5 ( 4 5 4 5 12 ；ba) 1 4 5 () 4 5 ( 2 babaa 1 4 5 ) 4 5 () 4 5 ( 4 5 23 23 由此猜想： baa nnn n 1 4 5 ) 4 5 () 4 5 () 4 5 ( 21 ba nn 1) 4 5 (4) 4 5 ()( * Nn 下面用数学归纳法进行证明： 当时，猜想成立。 假设当1nbaa 4 5 1 时，猜想都成立，即，那么当时，kn baa kk k 1) 4 5 (4) 4 5 (1 kn kk aa 4 5 1 ，即当时，猜想 4 5 bbba kk 1) 4 5 (4) 4 5 (ba kk 1) 4 5 (4) 4 5 ( 11 1 kn 仍成立。由、可知，对任意的自然数猜想都成立。 （2）当时，若该地区今nab 72 19 后发生水土流失，则森林木材存量必须少于。所以。a 9 7 a n ) 4 5 ( 1) 4 5 (4 n aa 9 7 72 19 整理得。两边取对数得。所以5) 4 5 ( n 5lg 4 5 lgn 2lg25lg 5lg n 。所以经过 8 年该地区就开始水土流失。7 3 . 031 30 . 0 1 2lg31 2lg1 【模拟试题模拟试题】 一. 选择： 1. 用数学归纳法证明时，从“312)()2)(1( n nnnn)(12( * Nnn 到” ，左边需增乘的代数式是（ ）nk1 kn A. B. C. D. 12 k 1 12 k k ) 12(2k 1 32 k k 2. 用数学归纳法证明“” ，在验证时，左 12 1 n aaa) 1( 1 1 2 a a a n 1n 端计算所得的项为（ ） A. B. C. D. 1a1 2 1aa 32 1aaa 3. 用数学归纳法证明：（，且）时，第一步即n n 12 1 3 1 2 1 1 * Nn1n 证下列哪个不等式成立（ ） A. B. C. D. 212 2 1 12 3 1 2 1 12 3 1 1 4. 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步应是（ n nn yx yx ） A. 假设时正确，再推时正确12 kn32 kn B. 假设时正确，再推时正确12 kn12 kn C. 假设时正确，再推时正确kn 1 kn D. 假设时正确，再推时正确) 1( kkn2 kn 5. 空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设个这样的平面把nk 空间分成个区域，则个平面把空间分成的区域数（ ）)(kf1k)() 1(kfkf A. B. C. D. 1kk1kk2 6. 用数学归纳法证明：“（，且） ”时，由 12 1 3 1 2 1 1 n n * Nn1n （）不等式成立推证时不等式成立时，左边应增加的项数是（ ）kn 1k1 kn A. B. C. D. 1 2 k 12 kk 212 k 7. 记凸边形的内角和为，则凸边形的内角和（ ）k)(kf1k)() 1(kfkf A. B. C. D. 2 2 3 2 8. 在应用数归纳证明凸边形的对角线成为条时，第一步验证（ ）n)3( 2 1 nnn A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二. 解答题： 1. 用数学归纳法证明：。! 33! 22! 11nn)( 1)!1( * Nnn 2. 平面内有个圆，其中每两个圆都相交，每三个或三个以上的圆都不交于同一点，求n 证：它们把平面分成个部分。)2( 2 nn 3. 求证： n 321 1 321 1 21 1 1)( 1 2 * Nn n n 试题答案试题答案 一. 1. C 2. C 3. C 4. B 5. A 6. C 7. B 8. C 二. 1. 证明： （1）当时，有左边，右边，左边=右边，所以1n1! 111121)!11 ( 等式成立。 （2）假设当时等式成立，即，)( * Nkkn1)!1(! 33! 22! 11kkk 当时，有 1 kn) 1(1)!1()!1() 1(! 33! 22! 11kkkkkk 。所以时等式)!1( k1)!2(1)2()!1(1)1(1 )!1(kkkkk1 kn 也成立。由（1） 、 （2）知，等式对一切都成立。 * Nn 2. 证明： （1）当时，1 个圆把平面分成个部分， 当时，命题成立。1n22 2 nn1n （2）假设时，个圆将平面分成个部分，则当时，) 1( kknk)2( 2 kk1 kn 新增加的一个圆与前个圆有个交点，这些点把新圆周分成段，每段把它穿过的区kk2k2 域又分成两部分，因此增加了个部分，于是个圆将平面分成k21kkkk2)2( 2 个部分，即时，命题成立。2) 1() 1( 2 kk1 kn 由（1） 、 （2）知命题对任何正整数均成立。n 3. 证明：由于是与正整数有关的等式，因此可以用数学归纳法证明。 （1）当时，左边=1，右