线性代数schmidt正交化方程组求解

,几何与代数,主讲:王小六,东南大学线性代数课程,线性代数的相关资料：1IntroductiontoLinearAlgebra，GilbertStrang著，麻省理工开放课程链接：,第四章n维向量,第4节向量的内积,二.正交向量组和Schmidt正交化方法,正交向量组,标准正交向量组,正交基,标准正交基,1.概念,第四章n维向量,4.4向量的内积,发现的结论设1,2,s是标准正交向量组,且=k11+k22+kss,则ki=,i=1,2,s.,2.结论,定理4.10.1,2,s正交线性无关.,定理4.11每个非零的向量空间V都有标准正交基.,第四章n维向量,4.4向量的内积,1=1,Schmidt正交化方法(务必掌握)：,再将1,2,s单位化得:,第四章n维向量,4.4向量的内积,另外，从上述构造可总结：设1,2,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,s使得1,2,t与1,2,t等价(1ts).,第四章n维向量,4.4向量的内积,第二章n维列向量,2.6内积与正交矩阵,三.正交矩阵(orthogonalmatrix),定义满足QTQ=E或QQT=E(即Q1=QT)的实方阵Q称为正交矩阵,简称为正交阵.,定理4.12.设Q为n阶实方阵,则下列条件等价:,性质.(1)Q为正交阵|Q|=1;,(2)Q的行(列)向量组构成Rn的一组标准正交基;,(1)Q是正交阵;,(3)QT是正交阵;(4)Q1是正交阵.,(2)A,B为正交阵AB为正交阵.,例设,是n维列向量,Q为nn的正交矩阵,则|Q|=|,=.,Q,Q的长度和夹角与,的长度和夹角相等,第四章n维向量,4.4向量的内积,cos2+sin2,sin2+cos2,0,0,=E.,O,x,对应的正交变换,y,第四章n维向量,4.4向量的内积,第四章n维向量,第5节线性方程组解的结构,行变换,4.5线性方程组解的结构,一.线性方程组的相容性,回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1,A,b,阶梯形A,b,(1)Ax=b有解A与(A,b)的非零行数相等；(2)当A与(A,b)的非零行数都等于n时,Ax=b有唯一解；(3)当A与(A,b)的非零行数(记为r)相等且小于n时,Ax=b有无穷多解,通解中含有nr个自由未知量.,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,行变换,4.5线性方程组解的结构,一.线性方程组的相容性,回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1,A,b,阶梯形A,b,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,4.5线性方程组解的结构,一.线性方程组的相容性,定理4.13.设ARsn,bRs,则,(1)Ax=b有解r(A,b)=r(A);(2)当r(A,b)=r(A)=n时,Ax=b有唯一解;(3)当r(A,b)=r(A)n时,Ax=b有无穷多解,且通解中含有nr(A)个自由未知量.,例1,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,注：对于矩阵方程AX=B,有以下结论。,AX=B有解r(A,B)=r(A),记B=(b1b2bt).则AX=B有解A(x1x2xt)=(b1b2bt)有解Axj=bj有解，j=1,2,t.r(A,bj)=r(A),j=1,2,t.r(A,b1b2bt)=r(A).(思考),第四章n维向量,4.5方程组解的结构,二.齐次线性方程组的解的结构,另外,A=A(k)=k(A)=.,事实上,A=,A=A(+)=A+A=.,1.设ARsn,下列集合构成Rn的一个子空间.,Rn|A=:=K(A),称其为Ax=的解空间或矩阵A的核空间(零空间).,设ARsn,称向量空间K(A)的基为齐次线性方程组Ax=的基础解系.,定义,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,Ax=的解集,|A=,1,2,s线性无关,可以由1,2,s线性表示,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,2.,Ax=的一个基础解系,1,2,s,=k11+k22+kss,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,例1设矩阵A经过一系列初等行变换可化为,10130010-200000,求方程组Ax=的基础解系.,定理4.14.设ARsn,秩(A)=r.,(1)若r=n,则Ax=没有基础解系;(2)若rn,则Ax=有基础解系,且dimK(A)=nr.,x1=c1,r+1xr+1+c1,r+2xr+2+c1nxn,x2=c2,r+1xr+1+c2,r+2xr+2+c2nxn,xr=cr,r+1xr+1+cr,r+2xr+2+crnxn,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,注解,=xr+1+xr+2+xn,定理4.14.设ARsn,秩(A)=r.,(1)若r=n,则Ax=没有基础解系;(2)若rn,则Ax=有基础解系,且dimK(A)=nr.,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,1=,2=,nr=.,定理4.14.设ARsn,秩(A)=r.,(1)若r=n,则Ax=没有基础解系;(2)若rn,则Ax=有基础解系,且dimK(A)=nr.,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,求解齐次线性方程组Ax=的基础解系的一般步骤：,A,行阶梯形,秩(A)n?,简化阶梯形,求得基础解系,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,例2设矩阵A经初等行变换化为,02030110-200010,求Ax=的基础解系.,例3设矩阵A经初等行变换化为,-10-10011,求核空间K(A)的基及维数.(注意区别值域R(A),例4.证明r(ATA)=r(A).,证明:设A为mn的矩阵,x为n维列向量.注意到Ax=(ATA)x=同时，由(ATA)x=xT(ATA)x=0(Ax)T(Ax)=0Ax=.故Ax=与(ATA)x=同解,因此nr(ATA)=nr(A).进而得r(ATA)=r(A).,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,K(A)=K(ATA),A可以是一个向量,例5设A,B分别是sn,nt矩阵,证明：若AB=O,则r(A)+r(B)n.(即为推论2.8),第四章n维向量,4.5方程组解的结构,三.非齐次线性方程组的一般解,1.Ax=b的导出组:Ax=.,性质1.设1,2都是Ax=b的解,则12是Ax=的解.,性质2.是Ax=b的解,是Ax=的解,则+是Ax=b的解.,2.非齐次线性方程组的解向量的性质,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,定理4.15.,*是Ax=b的一个特解,1,nrAx=的基础解系,Ax=b的通解为,x=*+k11+knrnr.,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,3.解非齐次线性方程组Amnx=b的一般步骤,Ab,行阶梯形,简化阶梯形,求得Ax=b的特解和Ax=的基础解系,求得Ax=b的一般解,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,例6.求方程组,的一般解.,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,3211-213-24174118053,初等行变换,3211-20-10-411100-4309,初等行变换,00-19/2471/20104-1-11001-3/40-9/4,四.在解析几何中的应用,1.两直线的相对位置,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,1.两直线的相对位置,重合,相交,平行,异面,无穷多解,唯一解,无解,位置关系,Ax=D,秩,无解,r(A)=r(A,D)=2,r(A)=r(A,D)=3,r(A)=2,r(A,D)=3,r(A)=3,r(A,D)=4,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,有其它判断方法,例7.当参数k取什么值时，直线,相交？,L1,L2,P1,P2,s1,Q2,Q1,s2,Q2,注：改例子在第三章出现过。,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,2.三平面的相对位置,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,3:A3x+B3y+C3z+D3=0,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,重合,交于一线,交于一点,无交点,无穷多解,位置关系,Ax=D,秩,无解,r(A)=r(A,D)=1,r(A)=r(A,D)=2,r(A)=r(A,D)=3,r(A)+1=r(A,D),2.三平面的相对位置,唯一解,无穷多解,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,例8讨论下列三个平面的相对位置.,1:x+y+bz=3;2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3:(1-a)y+(2b-1)z=0.,其中，a,b是参数.,第四章n维向量,4.5方程组解的结构,课后注释：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系.,第四章n维向量,4.6最小二乘解,4.6线性方程组的最小二乘解,大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示,1234567,18.519.620.320.519.820.621.5,假定天数x与股票价格y服从三次关系y=ax3+bx2+cx+d,将上述数据代入假定的方程中，得到七个以a,b,c,d为未知数的方程组,其未必有解！,x,y,y=ax3+bx2+cx+d,第四章n维向量,4.6最小二乘解,Ax=b没有解，即Ax-b=没有解,寻求最佳近似解x0，使得：|Ax0b|=min|Axb|,xRn,即寻找x0使得|Ax0b|=min|ab|,aR(A),b,假定Asn,第四章n维向量,4.6最小二乘解,第四章n维向量,定理4.16假设V是Rs的子空间，bRs,V,则|-b|=min|ab|当且仅当,aV,-b与V中每个向量都正交.,b,V,4.6最小二乘解,Ax=b没有解，即Ax-b=没有解,寻求最佳近似解x0，使得：|Ax0b|=min|Axb|,xRn,即寻找x0使得|Ax0b|=min|ab|,aR(A),b,R(A),第四章n维向量,4.6最小二乘解,即寻找x0使得|Ax0b|=min|ab|,aR(A),第四章n维向量,4.6最小二乘解,即寻找x0使得Ax0b与R(A)中的每个向量都正交,R(A)=L(12n),定理4.16,即寻找x0使得Ax0b与12n都正交,i.e.,=iT(Ax0b)=0,i=1,2,n.,即寻找x0使得|Ax0b|=min|ab|,aR(A),第四章n维向量,4.6最小二乘解,第四章n维向量,ATAx0=ATb.,该方程一定有解x0（见习题四(B)42）称其为Ax=b的正规方程，称其解为Ax=b的最小二乘解.,4.6最小二乘解,作业,习题四(B)25(1),26,27,29;30(1),31;32,35;3640上交时间：11月29日（周二）,本门课程的内容体系,本门课程：研究矩阵的理论,第二章矩阵矩阵的定义和运算；可逆矩阵:特殊矩阵;分块矩阵:为了更方便的运算;初等变换:矩阵之间的一种变换；,第五章：相似变换(方阵),第六章：可逆变换(实对称阵),特征值,惯性指数,矩阵世界，纷繁复杂，如何找到不变的永恒,秩,第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间,寻找向量空间的极小生成元(基),寻找向量组的极大无关组,研究向量组中向量间的关系（线性相关性）,有