1.1平面直角坐标系与坐标法ppt课件

直角坐标系,1,在直线上规定了原点、正方向、单位长度就构成了数轴。,1.直线上点的坐标,x,O,数轴上的点可以用唯一的一个实数表示,-1,-2,1,2,3,A,B,2,第一象限,第四象限,第三象限,第二象限,注意:坐标轴上的点不属于任何象限。,2.平面直角坐标系上的有序实数对(x,y)表示点,3,以单位正方体的顶点O为原点,分别以射线OA，OC，的方向为正方向,以线段OA,OC,的长为单位长度,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系。,3.空间直角坐标系：,点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、和zox平面,4,P,Q,R,y,x,z,4、空间中点的坐标,对于空间任意一点M，要求它的坐标,方法一：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点M的空间直角坐标，简称为坐标，记作M(x,y,z)，三个数值叫做M点的横坐标、纵坐标、竖坐标。,5,P0,x,y,z,M点坐标为(x,y,z),P1,4、空间中点的坐标,方法二：过M点作xOy面的垂线，垂足为点。点在坐标系xOy中的坐标x、y依次是M点的横坐标、纵坐标。再过M点作z轴的垂线，垂足在z轴上的坐标z就是M点的竖坐标。,6,三、空间点的坐标：,设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示,(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z),其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标,M,O,7,8,满足某种条件的点的集合或轨迹.,借助坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法.,解析几何两大基本问题,根据已知条件，求出表示平面曲线的方程,通过方程，研究平面曲线的性质,(x,y),f(x,y)=0,5、用坐标法研究几何图形的知识形成了一门学科解析几何.(实质就是“以数论形”),9,曲线与方程的关系:,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,就可以用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0来表示曲线.,分析,10,例1.设A,B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.,解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,由已知得,M点应该满足条件|MA|=|MB|,由两点间的距离公式,代入M,A,B的坐标得,化简,整理得,我们还需要证明这就是线段AB的垂直平分线的方程.,11,证明:(1)由求方程的过程知道,垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解.,(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程的解,则,点M1到A,B的距离分别是,由(1),(2)可知,方程是线段AB的垂直平分线的方程.,12,例2.已知平面上两个定点A,B,|AB|=2a,(a0),平面上动点M到A,B两点的距离之比为2:1,求动点M的轨迹方程.,解:以线段AB所在直线为X轴,线段AB的中点为原点,建立如图直角坐标系.则A(-a,0),B(a,0),设动点M的坐标为(x,y),由已知M点应该满足条件:,把M,A,B的坐标代入等式,得,化简,整理得:,M,A,B,O,X,Y,13,求曲线方程的一般步骤：,1.设（建系设点）：建立适当的坐标系，用M(x,y)表示曲线上任意一点M;,.写（写等量关系）写出满足条件的点的集合:|(M);,.代（列方程）:将点坐标（x,y）代入几何条件，列出方程f(x,y)=0;,4.化（化简方程）：化方程为最简形式；,.证（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）：验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹。,上述五个步骤可简记为：建系设点；写出条件；代入坐标；化简方程；证明结论,课堂小结,14,例3、点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数k(k0)，求点M轨迹方程.,解：以已知的两条垂直直线为坐标系，建立直角坐标系.,设点M(x,y)是满足题设条件的轨迹上的任意一点，则,P=M|MR|MQ|=k,其中Q,R分别是点M到x轴,y轴的垂线的垂足所以|x|y|=k即xy=k,15,1.两条垂直的直线,2.对称图形,3.已知长度的线段,以该二直线为坐标轴.,以对称图形的对称轴为坐标轴.,以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.,课堂小结,建立坐标系的一般规律:,16,关于化简方程,使得化简前后的方程同解.,在求轨迹方程的问题中，如果化简方程,过程是同解变形.则由此所得的最简方程就,是所求曲线的方程，可以省略“证明”;,如果化简过程不是同解变形，所求得的,方程就不一定是所求曲线的方程.此时，,应该通过限制x，y的取值范围来去掉增根，,课堂小结,17,例4：已知ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2，BE,CF分别为边AC,AB的中线，建立适当的坐标系探究BE与CF的位置关系.,O,解：建立直角坐标系.由已知，,由b2+c2=5a2，可得到：|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即：x2+y2+c2=5(x-c)2+y2,整理得：2y2=(2x-c)(2c-x),所以：kBEkCF=-1,因此，BE与CF互相垂直.,18,还可以怎样建立坐标系？,O,O,此时各点得坐标又是如何表示？,此时各点得坐标又是如何表示？,19,归纳:求曲线方程的一般步骤,建,设,限,代,化,建立直角坐标系,设出动点坐标为(x,y),动点满足的限制条件(等量关系),把坐标代入等式,化简得到方程,证,检验所得方程是否符合题意,建系一般规律:1.有两条垂直的直线,以该二直线为坐标轴.2.有对称图形,以对称轴为坐标轴.3.有定长线段,以线段所在直线为坐标轴,端点或中点为原点.,20,课堂练习1,1.到F(2，0)和Y轴的距离相等的动点的轨迹方程是:_,简解：设动点为(x，y)，则由,21,2.三角形ABC中，若B(-2，0)，C(2，0),中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是:_,课堂练习1,简解：设A(x，y)，则D(0，0)，所以,即x2+y2=9(y0),22,1.已知定点A(0，-1)，动点P在曲线上移动，则线段AP的中点的轨迹方程是:,课堂练习2,2.已知三角形三顶点坐标为A(-3，0)，B(3，0)，C(0，2)，则三角形的AB边中线的方程是:,3.已知M(1，0)，N(-1，0)，若则动点p的轨迹方程为:_,x=0(0y2),x2+y2=1(x1),y=4x2,23,1、已知平面上两个定点A、B之间的距离为2a，点M到A、B两点的距离之比为2:1，求动点M的轨迹方程。,课堂练习3,2、一个动点P与两个定点A、B的距离的平方和为1