【世纪金榜】高中数学 第一章 立体几何初步单元质量评估 北师大版必修2

【世纪金榜】高中数学 第一章 立体几何初步单元质量评估 北师大版必修2（120分钟 150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )(A)一个圆台、两个圆锥 (B)两个圆台、一个圆柱(C)一个圆台、一个圆柱 (D)一个圆柱、两个圆锥2.下列说法中，正确的是( )(A)经过不同的三点有且只有一个平面(B)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线(C)垂直于同一个平面的两条直线是平行直线(D)垂直于同一个平面的两个平面平行3.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积分别为( )(A)24cm2, 12cm3 (B)15 cm2,12cm3(C)24cm2,36cm3 (D)以上都不正确4.若l，m，n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列说法中正确的是( )(A)若, l,n，则ln(B)若, l，则l(C)若l, l,则(D)若ln,mn,则lm5.已知点O为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列结论正确的是( )（A）直线OA1平面AB1C1（B）直线OA1平面CB1D1（C）直线OA1直线AD（D）直线OA1直线BD16. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)907.（易错题）一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( )(A)(+4) cm3 (B)(+8) cm3(C) cm3 (D)(+4) cm38.如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有( )(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对9.（2020辽宁高考）如图，四棱锥S -ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )(A)ACSB(B)AB平面SCD(C)平面SDB平面SAC(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10.棱锥侧面是有公共顶点的三角形，能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)611如图所示，三棱锥P-ABC的高PO8，ACBC3，ACB30，M、N分别在BC和PO上，且CMx，PN2x(x0,3)，下列四个图像大致描绘了三棱锥NAMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是( )12.已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且AOA1=120，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A则蚂蚁爬行的最短路程长为( )(A)8 cm (B) cm(C)10 cm (D)5 cm二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13.圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成60,则圆台的侧面积为_.14.若一个底面边长为侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_.15.点M是线段AB的中点，若点A、B到平面的距离分别为4 cm和6 cm，则点M到平面的距离为_.16.（2020安徽高考）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则_(写出所有正确结论的编号) .四面体ABCD每组对棱相互垂直四面体ABCD每个面的面积相等从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线18.（12分）在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知DA=DC=4,DD1=3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.19.（12分）倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6 cm，水面与容器口的距离为1 cm，现放入一个棱长为4 cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？20.（能力题）（12分） 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，ADC1D（1）求证：AD平面BCC1B1； （2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E平面ADC1？请给出证明21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD， ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（1）证明：AE平面PCD；（2）求二面角A-PD-C的正弦值22.（能力题）（12分）如图，ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，设AE与平面ABC所成的角为,且tan=四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC（1）求三棱锥C-ABE的体积；（2）证明：平面ACD平面ADE；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO平面ADE？证明你的结论答案解析1.【解析】选D.如图所示：所得几何体为由一个圆柱和两个圆锥组成的几何体.2.【解析】选C.A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行，相交；D中，两个平面可能相交3.【解析】选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm，母线长为5 cm，高为4 cm，则表面积及体积分别为24 cm2,12 cm3.【变式训练】如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为( )(A)4 (B)2 (C)2 (D) 【解析】选B.本题考查三视图及面积的计算，先画出左视图，可知其为矩形，且长为2，宽为.故所求面积为2=24.【解析】选C.A中，两条直线还可能异面；B中，还可能l或l与斜交或平行；D中，两条直线还可能相交或异面5.【解析】选B可证平面A1BD平面CB1D16.【解析】选C.设圆锥底面半径为r，母线长为l，则依条件有2rl，如图所示，即ASO30,圆锥的顶角为60.7.【解析】选A.由三视图可知，该几何体为一个半球、一个四棱柱和半个圆柱构成的组合体V半球=V半圆柱=V四棱柱=Sh=4(cm3).该几何体的体积V=【误区警示】由三视图可知，该几何体为一个半球、一个四棱柱和半个圆柱构成的组合体不要误认为是一个棱柱和半个球组成的几何体.【举一反三】若三视图(单位：cm)改为：求几何体的体积.【解析】由三视图可知，该几何体为一个半球和一个四棱柱构成的组合体V半球=V四棱柱=Sh=222=8（cm3）.该几何体的体积V=（）cm3.8.【解析】选C.本题考查图形的翻折和面面垂直的判定，显然面ABD面BCD，面ABC面BCD，面ABD面ACD.9. 【解析】选D.选项具体分析结论A四棱锥S -ABCD的底面为正方形，所以ACBD，又SD底面ABCD，所以SDAC，从而AC平面SBD，故ACSB正确B由ABCD，可得AB平面SCD正确C选项A中已证得AC平面SBD，又SA=SC，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角正确DAB与SC所成的角为SCD，此为锐角，而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角，此为直角，二者不相等不正确10.【解析】选C.正三角形的每一个内角为60，以六个这样的正三角形为侧面不能围成棱锥(顶点出发的几个内角的和应小于360)，所以最多应有5个，故应选C.11【解析】选A. 12.【解题指南】本题涉及到最短路径问题，往往需要把几何体展开，从而使空间问题平面化.【解析】选B.连接AA1，作OCAA1于C，圆锥的母线长为5 cm，AOA1=120，AA1=2AC=cm13.【解析】设r1=1,r2=2,l=2,S圆台侧面=(r1+r2)l=6.答案:614.【解析】球的直径等于正六棱柱的体对角线的长设球的半径为R，由已知可得所以球的体积为答案：15.【解析】(1)如图(1)，当点A、B在平面的同侧时，分别过点A、B、M作平面的垂线AA、BB、MH，垂足分别为A、B、H，则线段AA、BB、MH的长分别为点A、B、M到平面的距离由题设知AA4 cm，BB6 cm.因此(2)如图(2)，当点A、B在平面的异侧时，设AB交平面于点O，AABB46，AOOB46.又M为AB的中点，MHAA14，即MH1(cm)故点M到平面的距离为5 cm或1 cm.答案:5 cm或1 cm16.【解题指南】作出立体图，根据点线面的位置关系判断.【解析】可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则需要满足x=y=z，才能成立；因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证），则正确；正四面体的同一顶点处三个角之和为180，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180，显然不成立；由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，显然成立.答案：17.【证明】如图所示(1)连接B1D1.E，F分别为D1C1，C1B1的中点，EFB1D1.又B1D1BD，EFBD，EF与BD共面，E，F，B，D四点共面(2)ACBDP，P平面AA1C1C平面BDEF.同理，Q平面AA1C1C平面BDEF.A1C平面DBFER，R平面AAV1C1C平面BDEF，P，Q，R三点共线【方法技巧】四点共面与三点共线的证明方法（1）证明四点共面的常用方法：证明两点所在的直线与另外两点所在直线平行或相交；证明其中一点在另外三点所确定的平面上.（2）证明三点共线的常用方法：证明三点同时在两个平面内，则三点在两个平面的交线上；证明其中一点在另外两点所确定的直线上.18.【解析】连接A1D，A1DB1C,BA1D为异面直线A1B与B1C所成的角(或其补角）. 连接BD，在A1DB中，A1B=A1D=5，BD=,则cosBA1D=故异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.19.【解题指南】此题关键是比较容器口下的部分实心铁块和圆锥形容器剩余空间的体积.【解析】如图甲所示：OP=6 cm,OO=1 cm.当正方体放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比较圆锥中ABCD部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定.如图甲，设水的体积为V1，容器的总容积为V，则容器剩余容积为V-V1.由题意得，OP=6,OO=1.OP=7,OA2=OC2=12,V=V1=未放入铁块前容器中剩余的容积为V-V1=49-2444.3(cm3).放入铁块后，图乙为以铁块下底面对角线作的轴截面.MN=O1M=O1P=GM=7-正方体铁块位于容器口下的体积为44(7-)=112-33.644.3,放入铁块后容器中的水不会溢出.20.【解析】（1）在正三棱柱中，CC1平面ABC，AD平面ABC， ADCC1又ADC1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，AD平面BCC1B1（2）由（1）得，ADBC在正三角形ABC中，D是BC的中点当=1时，即E为B1C1的中点时，A1E平面ADC1事实上，正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1BDE，B1B= DE 又B1BAA1，且B1B=AA1，DEAA1，且DE=AA1所以四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1AD而EA1平面ADC1,AD平面ADC1，故A1E平面ADC121.【解析】（1）在四棱锥P-ABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA由条件CDAC，PAAC=A，CD面PAC又AE面PAC，AECD由PA=AB=BC，ABC=60，可得AC=PAE是PC的中点，AEPC，PCCD=C综上得AE平面PCD（2）过点E作EMPD，垂足为M，连接AM由（1）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD因此AME是二面角A-PD-C的平面角由已知，得CAD=30设AC=a，在RtADP中，AMPD，AMPD=PAAD，则在RtAEM中， 22.【解析】（1）四边形DCBE为平行四边形，CDBE,DC平面ABC，BE平面ABC，EAB为AE与平面ABC所成的角，即EAB，在RtAB