空间向量的数量积运算

31.3空间向量的数量积运算,1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.,1.空间向量的数量积运算(重点)2.利用空间向量的数量积求夹角及距离(难点)3.空间向量数量积的运算律(易错点),数量积,|a|b|cosa，b,abba,(ab)c,ab,1空间向量的夹角,AOB,a，b,0，,互相垂直,ab,2空间向量的数量积,(ab),ba,abac,答案：A,答案：D,1.空间向量共线定理,若，则点P、A、B共线的充要条件是xy1。,2.空间向量共面定理,对空间任一点O和不共线三点A、B、C，若，则点P在平面ABC内的充要条件是xyz1.,若向量不共线，则向量与共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使.,3.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法.,例题讲解,例1用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.,例2：用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：,已知m，n是平面内的两条相交直线，直线lm，ln，求证：l,小结作业,1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样.,2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离.,已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.,题后感悟(1)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断ab时，须指明a0，b0；(2)证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直,3.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点求证：AB1BM.,2数量积的理解(1)书写向量的数量积时，只能用符号ab，而不能用符号ab，也不能用ab.(2)两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定(3)当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量，这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有ab0.,3空间向量数量积的运算律的注意事项(1)要准确区分两向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积之间的差异(2)数量积的运算不满足消去律，即abbc推不出ac.(3)数量积的运算不满足结合律，即(ab)c不一定等于a(bc),4空间向量数量积的应用空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可用于解决很多立体几何问题，如：(1)求空间中两点间的距离或线段长度，可以理解为求相应线段所对应的向量的模；(2)求空间中两条直线的夹角(特别是两条异面直线所成的角)，可以理解为求这两条直线所对应的两个向