离散数学-第7章+图论-3图的矩阵表

第七章图论,引言7.1图的基本概念7.2路与连通7.3图的矩阵表示7.4最短路径问题7.5图的匹配8.1Euler图和Hamilton图8.2树8.3生成树8.4平面图,7.3图的矩阵表示,图的矩阵表示图的数学抽象是三元组，其形象直观的表示即图的图形表示。为便于计算，特别为便于用计算机处理图，下面介绍图的第三种表示方法图的矩阵表示。利用矩阵的运算还可以了解到它的一些有关性质。,内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。,重点：1、有向图，无向图的关联矩阵，,2、有向图的邻接矩阵。,了解：有向图的可达矩阵。,7.3.1图的矩阵表示,邻接矩阵,存储原则:存储结点集和边集的信息.,（1）存储结点集；（2）存储边集：存储每两个结点是否有关系。,7.3.1邻接矩阵,1.无向图的邻接矩阵,定义1.6.2设的顶点集为，用表示中顶点与之间的边数。称矩阵为的邻接矩阵。,从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：是一个对称矩阵；若为无环图。则中第行(列)的元素之和等于顶点的度数；(3)两个图与同构的充要条件是存在一个置换矩阵，使得。,对应的邻接矩阵,例2下图所示的邻接矩阵为：,A(G),A(G),A(G),A(G),A(G),A(G),相当于将单位矩阵中相应的行与行，或者列与列互换的矩阵,7.3.1邻接矩阵,同构图判别定理：图G1，G2同构的充要条件是：存在置换矩阵P，使得：A1PA2P。其中A1，A2分别是G1，G2的邻接矩阵。如何判断两图同构是图论中一个困难问题,7.3.1邻接矩阵,在邻接矩阵A的幂A2，A3，矩阵中，每个元素有特定的含义。定理:设G是具有n个结点集v1，v2，vn的图，其邻接矩阵为A，则Al（l1，2，）的（i，j）项元素a(l)ij是从vi到vj的长度等于l的路的总数。证明:归纳法当l1时，A1A，由A的定义，定理显然成立。若lk时定理成立，则当lk1时，Ak+1AAk，,所以,aij(1)等于G中联结vi与vj的长度为1的路径条数。,naij(l+1)=aikakj(l)k=1,vk,vi,vj,长度=1,长度=l,共akj(l)条,7.3.1邻接矩阵,结论：(1)如果对l1，2，n-1，Al的（i，j）项元素（ij）都为零，那么vi和vj之间无任何路相连接，即vi和vj不连通。因此，vi和vj必属于G的不同的连通分支。(2)结点vi到vj（ij）间的距离d（vi，vj）是使Al（l1，2，n-1）的（i，j）项元素不为零的最小整数l。(3)Al的（i，i）项元素a(l)ii表示开始并结束于vi长度为l的回路的数目。,7.3.1邻接矩阵,例1图G（V，E）的图形如图，求邻接矩阵A和A2，A3，A4，并分析其元素的图论意义。解,7.3.1邻接矩阵,(1)由A中a(1)121知，v1和v2是邻接的；由A3中a(3)122知，v1到v2长度为3的路有两条，从图中可看出是v1v2v1v2和v1v2v3v2。(2)由A2的主对角线上元素知，每个结点都有长度为的回路，其中结点v2有两条：v2v1v2和v2v3v2，其余结点只有一条。(3)由于A3的主对角线上元素全为零，所以G中没有长度为的回路。(4)由于a（）34a（）34a（）34a（）34，所以结点v3和v4间无路，它们属于不同的连通分支。(5)d（v1，v3）。对其他元素读者自己可以找出它的意义。,7.3.1邻接矩阵,设图，如下图所示,讨论（1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，又称为布尔矩阵；（2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，进行行和行、列和列的交换，则得到相同矩阵。若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对某一矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。（3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵；（4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0；（5）在图的邻接矩阵中，行中1的个数就是行中相应结点的引出次数列中1的个数就是列中相应结点的引入次数,7.3.1邻接矩阵,矩阵的计算：,主对角线上的数表示结点i（或j）的引出次数。,主对角线上的数表示结点i（或j）的引入次数。,7.3.1邻接矩阵,表示i和j之间具有长度为2的通路数，表示i和j之间具有长度为3的通路数，表示i和j之间具有长度为4的通路数，,7.3.1邻接矩阵,bij表示从结点vi到vj有长度分别为1，2，3，4的不同通路总数。此时，bij0，表示从vi到vj是可达的。,7.3.1邻接矩阵,2.有向图的邻接矩阵,7.3.1图的矩阵表示,有向图的邻接矩阵,7.3.2邻接矩阵,例1,解：,7.3.2关联矩阵,关联矩阵多用于简单无向图无向图的关联矩阵,一个图由它的顶点与边的关联关系唯一确定；,定义1.6.1设的顶点集和边集分别为，。用表示顶点与边关联的次数(0，1或2)，称矩阵为的关联矩阵。,7.3.2关联矩阵,例1,下图所示的关联矩阵为：,对应的关联矩阵,从图的关联矩阵的定义容易得出以下性质：的每一列元素之和均为2；的每一行元素之和等于对应顶点的度数。若某行元素全为0，则对应的顶点为孤立点。重边所对应的列完全相同。,=,7.3.2关联矩阵,有向图的关联矩阵,其中,7.3.2关联矩阵,例2,解：,A(D),A(D),7.3.3有向图的可达性矩阵,有向图的可达性矩阵。(了解),可达性矩阵,7.3.3有向图的可达性矩阵,根据可达性矩阵，可知图中任意两个结点之间是