知识回顾-概率论与数理统计

数理统计基础,求和运算及相关性质随机变量及其数值特征从总体到样本几个重要的抽样分布,内容提要,数学期望,定义1离散型随机变量数学期望的定义假定有一个离散型随机变量X有n个不同的可能取值x1,x2,xn，而p1,p2,pn是X取这些值相应的概率，则这个随机变量X的数学期望定义如下：数学期望描述的是随机变量（总体）的一般水平。定义2连续型随机变量数学期望的定义,期望的性质,（1）如果a、b为常数，则E(aX+b)=aE(X)+b（2）如果X、Y为两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)（3）如果g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（4）如果X、Y是两个独立的随机变量，则E(X.Y)=E(X).E(Y),方差反映随机变量的离散程度。对于随机变量X，若EX-EX2存在，则称EX-EX2为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)，即D(X)=EX-EX2,称为随机变量X的均方差或标准差。,方差,由方差的定义可知，D(X)0。当X为离散型随机变量时，且分布律为P(X=xk)=pk，则,当X为连续型随机变量时，且密度函数为f(x)，则,在实际计算中，通常使用如下公式,即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方”。,方差的性质（a、b、c为常数；x、y为随机变量）,（1）Var(c)=0（2）Var(c+x)=Var(x)（3）Var(cx)=c2Var(x)（4）Var(x-y)=Var(x)+Var(y)-2cov(x,y)Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2cov(x,y)若x，y独立，则：Var(x+y)=Var(x)+Var(y)（5）Var(a+bx)=b2Var(x)（6）a,b为常数，x,y为两个相互独立的随机变量，则Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)（7）Var(x)=E(x2)-(E(x)2,证明:,=D(x)+D(y)+2cov(x,y),证明：D(x+y)=D(x)+D(y)+2cov(x,y),协方差,A.协方差定义随机变量X和Y，若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y).为X与Y的协方差,易见COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,B.,相关系数,A.定义若随机变量X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则,称为X与Y的相关系数.,B.相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关XY=0;,（一）统计量（样本均值、样本方差、标准差）（二）抽样分布（正态分布、t分布、F分布）（三）几个重要的抽样分布定理,几个重要的抽样分布,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.,（一）统计量,几个常见统计量,样本均值：,样本方差：,它反映了总体均值的信息,它反映了总体方差的信息,样本标准差：S,统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”.,（二）抽样分布,几种重要分布,正态分布（含标准正态分布）t分布F分布,（1）正态分布的定义：（2）正态分布的数学期望和方差：（3）标准正态分布：,1.正态分布,定理：正态分布标准化,定理：如果XN（0，1），则X2X2（1），即服从具有1个自由度的分布。,分位数问题,记为,定义:设相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,由分布的定义，不难得到：,1.设相互独立,都服从正态分布,则,X2分布的和仍然服从X2分布。,2分布的分位数,对于(0,1)给定,称满足条件:,的点n2()为n2分布的上分位数。,所服从的分布为自由度为n的t分布.,定义:设XN(0,1),Y,且X与Y相互独立，则称变量,3、t分布,记为T.,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.,Ttn,对于(0,1)给定,称满足条件:,t分布的分位数,的点tn()为t分布的上分位数。,4、F分布,定义:设X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F.,FFm,n,对于(0,1)给定,称满足条件:,F分布的分位数,的点Fm,n()为F分布的上分位数。,定理1(样本均值的分布)：定理2(样本方差的分布)：定理3,（三）几个重要的抽样分布定理,定理1(样本均值的分布),n取不同值时样本均值的分布,定理2(样本方差的分布),定理3,小结,一、概念：随机变量，总体，样本,二、统计量及其分布,1.几个常见统计量,2.统计四大分布,样本均值,样本方差,3.抽样分布定理,注意把握各种分布之间的联系,1.一般正态分布与标准正态分布的关系如果XN（，2），则（X-）/N（0，1