2018年奥林匹克数学竞赛第19讲 勾股定理

奥林匹克数学竞赛第19讲勾股定理考点方法破译1会用勾股定理解决简单问题2会用勾股定理的逆定理判定直角三角形3勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证经典考题赏析【例1】达州如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是A13B26C47D94【解法指导】观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D四个面积之和，故选C【变式题组】01安徽如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_02浙江省温州在直线L上的依次摆放着七个正方形如图所示，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1S2S3S4_03浙江省丽江如图，已知ABC中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线L1、L2、L3上，且L1、L2之间的距离为2，L2、L3之间的距离为3，则AC的长是ABCD7754【例2】青岛如图，长方体的底面边长分别为1CM和3CM，高为6CM如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_CM；如果从点A开始经过4个侧面缠绕N圈到达点B，那么所用细线最短需要_CM【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理两点之间线段最短画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，2916N【变式题组】LA1DCB2第1题图第2题图第3题图ACBL1L2L3BA3CM1CM6CM01恩施如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是AB25CD3552110502荆州如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610单位CM，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13CM，小孔到图中边AB距离为1CM，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为HCM，则H的最小值大约为_CM精确到个位，参考数据14，17222303荆州若一边长为40CM的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_CM铁丝粗细忽略不计【例3】荆州如图，将边长为8CM的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是A3CMB4CMC5CMD6CM【解法指导】对折问题即对称问题，设CNX，DNNE8X在RTCEN中，8X242X2X5故选C【变式题组】01在四边形ABCD中，B90，AB4，BC3，CD13，AD12求S四边形ABCD02如图，ABC中，AB13，AD6，AC5，D为BC边的中点求SABC03如图，ABC中，ACB90，AD平分CAB，BC4，CD求AC32B51015A20C第1题图第2题图AB吸管1065ADBECFMNABCD【例4】（四川省初二数学联赛试题如图，直线OB是一次函数Y2X的图象，点A的坐标为0，2，在直线OB上找点C，使得ACO为等腰三角形，求点C坐标【解法指导】求C点坐标需分类讨论1若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长为半径的圆与Y2X的交点处2若以A为顶点，AO为腰，则C在以A为圆心，AO的长为半径的圆与Y2X的交点处3若以C为顶点，则C在OA的中垂线与Y2X的交点处【解】若以O为顶点，OA为腰，如图设CT，2T，则在RTCOD中，OC2OD2CD24T22T25T24T5C1，），C2，）5若以A为顶点，AO为腰，如图，设CT，2T，在RTACE中AC2CE2AE222T22T22T0（舍去），TC385，若C为顶点，C在OA的中垂线上C4，1851612【变式题组】01若A（3，2），B为X轴上一点，O为坐标原点若AOB是等腰三角形求B点坐标02如图，在平面直角坐标系中，A4，0，B为Y2X上一点，若AOB为等腰三角形求B点坐标03如图在平面直角坐标系中，A0，4，B为Y2X上一点，若AOB为直角三角形求B点坐标AOBYXY2XAYXDOCAOCYXEA4,0Y2XXYOAY2XXYO【例5】福建省漳州几何模型条件如下左图，A、B是直线L同旁的两个定点问题在直线L上确定一点P，使PAPB的值最小方法作点A关于直线L的对称点A，连接AB交L于点P，则PAPBAB的值最小不必证明模型应用如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接ED交AC于P，则PBPE的最小值是_；2如图2，AOB45，P是AOB内一点，PO10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值【解】152如图2，作P关于OB的对称点P1，关于OA的对称点P2，连接P1P2，交OB于R，交OA于Q，则PRQ的周长最小，且此时PRQ的周长为PRRQQPP1P2连接OP1，OP2，12，34，2345P1OP290，OP1OPOP2，在RTOP1P2中，P1P22OP12OP22，P1P20【变式题组】01荆门一次函数YKXB的图象与X、Y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）求该函数的解析式；O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标02（四川联赛试题已知矩形ABCD的AB12，AD3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为_03陕西如图，在锐角ABC中，AB，BAC45，BAC的45平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是_AAPBLBDCAPE图1OAQPBR图2OAQPBRP1P2OCAXYBDPCABDMN【例6】求的最小值X242816X【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点X24X222，8X2168X242均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以，为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形28问题来解决【解】如图，作AB8，ACAB，BDAB，AC2，BD4E是AB上一动点设AEX则BE8XCE，DE所以求代数式最小值问2X284X题转化为在AB上求一点E，使CEDE值最小根据线段公理，连接CD交AB于H，则CD为所求作CFDB交DB延长线于F在RTCDF中，CD10所2CFD求最小值为10【变式题组】01（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB5，DE1，BD8，设CDX用含X的代数式表示ACCE的长；请问点C满足什么条件时，ACCE的值最小根据中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值X24219X02咸宁问题背景在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面5103积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络每个小正方形的边长为1，再在网格中画出格点ABC即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，如图1所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积请你将ABC的面积直接填写在横线上_；思维拓展我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法若ABC三边的长分别为A、5A、AA0，请利用图2的正方形网格每个小正方形的边长为A画出相217应的ABC，并求出它的面积；探索创新若ABC三边的长分别为、216MNAC2FB4DXH8XEABCDE、（M0，N0，且MN），试运用构图法求出这三角294MN2形的面积【例7】天津已知RTABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图1，求证MN2AM2BN2；【思路点拨】考虑MN2AM2BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连接DN，只需证DNBN，MDN90就可以了请你完成证明过程当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2AM2BN2是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由【解法指导】观察求证的结论容易发现MN2AM2BN2符合匀股定理的结构形式因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形【解】L证明将ABM沿直线CM对折，得DCM，连DNACMDCM12，ACCD，AMDCACBCCDBCMCN45，142334在DCN和BCN中，CDCB34CDNCBN，CDNB45，BNDNCNCNMDN90在RTDMN中，MN2DM2DN2NM2AM2BN2将ACM沿直线CM对折，得GCM，连接GNGCMACM，CGMCAM135，12，AMGMBCN90390451451452CGN132452BCNCGN在BCN和GCN中CNCNBCNCGNBCNGCN，CGNB45，GNBNCBCGMGN1354590，在RTMGN中，MN2MG2GN2，MN2AM2BN2【变式题组】01在RTABC中，C90，D为AB边的中点，DEDF求证EF2AE2BF2ABC02我们给出如下定义若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称_；如图1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；如图2，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE，连接AD、DC，DCB30求证四边形ABCD是勾股四边形03台州如图1，RTABCRTEDF，ACBF90，AE30EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K观察如图2、图3，当CDF0或60时，AMCK_MK填“”、“”或“”如图4，当CDF30时，AMCK_MK（只填“”或“”猜想如图1，当0CDF60时，AMCK_MK，证明你所得到的结论如果MK2CK2AM2，请直接写出CDF的度数和的值AMK演练巩固反馈提高01如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则AC边上的高为（）ABCD32350354502哈尔滨如图，长方形纸片ABCD中，AB8CM，把长方形纸片沿直线ACABCDEF折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AFCM，则AD的长为254A4CMB5CMC6CMD7CM03滨州已知ABC中，AB17，AC10，BC边上的高AD为8，则边BC的长为A21B15C6D21或904在同一平面内把边BC3，AC4，AB5的三角形沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC的长等于ABCD1251624505一个三角形三边长度之比为345，则这个三角形的三边上高的之比为A345B543C201512D9162506山西如图，在RTABC中，ACB90，BC3，AC4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为ABCD2327625607湖州如图，在正三角形ABC中，AB1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则DEF面积为_08安顺如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_09安徽长为4M的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角如图所示，则梯子的顶端沿墙面升高了_M10滨州某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB4米，BAC30，C90，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为_11湖州如图，已知在RTABC中，ACB90，AB4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1S2的值等于_12呼和浩特如图，四边形ABDC中，ABD120，ABAC，BDCD，AB4，CD，则该四边形的面积是_5313已知等腰三角形ABC的底边AB20CM，P是腰AC上一点，且AP12CM，BP16CM，则腰长是_14沪州如图，ABC中，ABBC2，ABC90，D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D，则BD_15如图，点A在反比例函数的图象上，OA4，ACX轴，OA的中垂线交X轴于6YB求ABC的周长16有一人字形屋架等腰三角形，其顶角为120，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形17牡丹江有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6M，8M现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8M长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长18如图A3，4，BA，1，AB5，C、D分别为X轴、Y轴上的两动点求四边形ABCD周长的最小值19如图，在正ABC中，DC4，DB3，DA5，求CDBYXA3,4BA,1XYO20如图，在RTABC中，ACB90，ACBC，D为三角形内一点，DC2，DB1，DA3求CDB01如图，在RTABC中，ABAC，D、E在斜边BC上且DAE45，将ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到AFB，连接EF，则下列结论AEDAEF；ABEACD；BEDCDE；BE2DC2DE2其中正确的是ABCD02四川联赛试题BD是ABC的中线，AC6且ADB45，C30，则ABABCD66303（江西竞赛）若将三条高线长度分别为X、Y、Z的三角形记为X，Y，Z，现在以下四个三角形6，8，10，8，15，17，12，15，20，20，21，29中，直角三角形的个数为A1个B2个C3个D4个04北京竞赛如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH若PE8CM，PG6CM，EG10CM，则长方形纸片ABCD的面积为（）CM2A1056B1104C1152D124805如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是ACD、EF、GHBAB、CD、EFCAB、CD、GHDAB、EF、GH06四川省初二数学联赛试题如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ6，PRS，PS10，则ABC的面积等于ABCD190319231943196307四川省初二数学联赛试题如图所示，在ABC中，BAC120，图5FEBDHCAG图6SRQCABP图7CABP24图8ABDCABACCM，一动点P从B向C以每秒2CM的速度移动，当P点移动_秒103时，PA与腰垂直08如图，在ABC中，D是BC边上一点，ABAD2，AC4，且BDDC23则BC_09黑龙江竞赛小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20CM，宽为8CM的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10CM的等腰三角形，