弹性力学-07(简化)第七章平面问题的差分解

第七章平面问题的差分解,要点:,将微分方程转变成差分方程。,基本思想:,将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分方程的问题变成求代数方程的问题。,7-1差分公式的推导,主要内容,7-2稳定温度场的差分解,7-3不稳定温度场的差分解,7-4应力函数的差分解,7-5应力函数的差分解的实例,7-6温度应力问题的应力函数差分解,7-7位移差分解,7-8位移差分解实例,7-9多连体问题的位移差分解,7-10温度应力问题的位移差分解,7-0弹性力学的数值计算方法简介,工程问题（力学、物理等）,建立一组基本方程,控制微分方程,定值条件,常微分方程,偏微分方程,位移边界条件,力的边界条件,初始条件,求解,精确解,近似解（数值解）,（均质、边界条件简单）,（1）有限差分法,（2）等效积分法（包括变分法）,（3）有限单元法,（4）边界单元法,（1）有限差分法（FDM）,要点：,差分,微分；,差分方程,微分方程。,（代数方程）,优点：,收敛性好、程序设计简单、,非线性适应好。,代表性软件：FLAC,缺点：,当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。,（2）等效积分法,控制微分方程,边值条件,建立等效的积分方程,近似求解,（a）加权余量法（加权残值法）,（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）,（b）变分法,当原问题存在某个泛函时，则原问题等价于求该泛函的驻值。如：Ritz法等。,特点：,在整个区域内，假设未知函数。,适用于边界几何形状简单的情形。,（3）有限单元法（FEM）,加权余量法、变分法的推广。,基本思想：,整个区域,分成若干个单元,区域离散,假设未知函数,在单元上,由变分原理等求出单元结点上值,（近似解）,主要有限元软件：,SAP，ADINA,NASTRAN、ANSYS、ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等,早期的软件,1.中心差分公式,7-1差分公式的推导,设函数：,为弹性体,内的某个函数（应力分量、位移分量、应力函数、温度等）。,在弹性体上用相隔等间距h且平行于坐标轴的两组平行线组成网格，称为差分网格。网格线的交点称为节点（结点）。,则函数f=f(x，y)在平行于x轴的网格线上，如节点：3-0-1上，它只随x而变化。,考察结点0处，函数f=f(x，y)的变化，可展开成Taylor级数：,（a）,若略去三次幂以上各项，式（a）变为：,（b）,节点3及1的x坐标：,将其代入式（b），有：,（c）,（d）,联立求解，得：,（7-1）,（7-2）,同理，在网格线4-0-2上取,（e）,类似于，x方向的讨论，有,（7-3）,（7-4）,式（7-1）（7-4）称为基本差分公式。,混合二阶导数的差分公式：,（7-5）,进一步可导出四阶偏导数的差分公式：,进一步可导出四阶偏导数的差分公式：,（7-6）,以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。,说明：,2.端点差分公式,向前差分公式,把导数：,用函数值：f0f1f9,表示；,把导数：,用函数值：f0f2f10,表示。,由：,（b）,得到：,（7-7）,（e）,同理，对y方向，有：,由此解得：,（7-9）,式（7-7）、（7-9）称为前差公式。,向后差分公式,把导数：,用函数值：f0f3f11,表示；,用函数值：f0f4f12,表示。由：,把导数：,（b）,得到：,由此解得：,（7-8）,同理，对y方向，有：,（e）,可解得：,（7-10）,式(7-8)、(7-10)称为后差分公式,与中心差分公式类似，由式（7-7）（7-10）可推出高阶导数的差分公式。,（1）中心差分（导数）公式与端点差分（导数）公式比较，前者的精度较高。所以尽可能应用中心差分公式。,说明：,（2）在前面差分公式的推导中，应用了近似式：,（b）,略去了三次幂以上的各项，其实质：,在（xx0）的区间上，将,f（x，y）沿x方向用抛物线函数代替。,所以，式（7-7）（7-10）,称为抛物线差分公式。,（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：,略去了二次幂以上的各项，则：,或,线性差分公式,前差公式,后差公式,线性差分公式的精度较低，很少采用。,（4）若在差分公式的推导中，应用高阶近似关系，如：,由此得到的差分公式精度较高。但由于其涉及节点较多，实际应用不方便，所以也很少采用。,7-2稳定温度场的差分解,1.热传导方程,一般情形下，热传导方程：,对无热源、平面、稳定的温度场，有,其热传导方程变成二维的调和方程：,（a）,2.热传导方程的差分方程,将温度场的域内划分网格，,取任一节点，,如：节点0，,应有：,（b）,由差分公式（7-2）、（7-4），得：,（c）,（d）,将式（c）、（d），代入式（b）得：,（7-11）,每一个节点均可建立上述方程。,3.边界条件的引入,（1）第一类边界条件,由于边界点的T值已知，,因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。,（2）第二类边界条件,边界外,边界内,绝热条件,对于与x轴垂直的边界，有,故对于边界点0，有:,在边界点0右侧设虚节点1，,由一阶差分公式（7-1），有:,将其代入差分方程（7-11）：,即该边界为绝热边界，有：,（7-12）,边界外,边界内,对于与y轴垂直的边界节点0，,（7-12）,若：,整理得：,（7-13）,（7-11）,有：,（3）第三类边界条件,式中，Te为周围介质的温度，,边界外,边界内,对于与x轴垂直的边界节点0，有：,由一阶差分公式（7-1），有:,将上式代入差分方程（7-11），并整理得边界节点0点的差分方程：,（7-14）,为放热系数。,(7-11),（4）第四类边界条件,已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行热交换的情况。,对于两物体完全接触,情形，物体表面的温度Ts和接触物体表面温度Te相同，即,此时与第一类边界条件相同。,对于与y轴垂直的边界节点，有：,（7-14）,将上式代入差分方程（7-11），并整理得边界节点0点的差分方程：,(7-11),例：,图示矩形薄板，右边界为绝热边界，其余三边界上的已知节点温度值标于图中各节点上（单位：）。求：板内的节点温度。,a,b,c,d,e,f,g,i,10,12,14,16,18,40,32,24,35,30,25,20,解：,划分网格：43,编排节点号：ai,列节点差分方程：,节点a：,节点b：,节点c：,节点d：,节点e：,节点f：,内节点,边界节点：,节点g：,绝热边界：,内节点：,节点i：,联立求解方程组，得：,4.不规则边界条件的处理,（1）第一类边界：,将温度T在节点0邻近处沿x方向展开为Taylor级数，略去(x-x0)的三次方以上项，有,由此可解得：,由：,得：,（7-15）,（7-11）,类似地，对于y方向网格线上的不规则边界点B，有：,（7-15）,对于图中不规则边界节点A、B，有：,（7-16）,（2）第二类边界：,将第一类边界情形中的TA用,表示。,在A点邻域内沿x方向展Taylor级数，并略去二阶以上各项：,从式中消去：,并求出TA,（d）,由：,得：,代入上式，有：,（7-15）,代入式（7-15）右端的TA：,并整理、简化得：,（7-17）,A,对于图示不规则节点0的差分方程，由类似的推导，有：,（7-18）,（3）第三类边界：,将其代入式（d）：,（d）,得到：,（e）,由式（e）求出TA：,将上式代入式（7-15）右端TA，,（7-15）,整理即得节点0的差分方程。,式中：,7-4应力函数的差分解,1.应力函数的差分方程,应力分量的差分表示,平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：,任一点0处应力分量的差分格式：,（7-24）,对常体力情况，将体力转换为面力分析。,应力函数的差分方程,平面问题（不计体力时），应力相容方程为：,在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：,由四阶导数差分公式，得：,将其代入相容方程，有,（7-25）,对于弹性体边界内的每一节点，都可建立上述方程。,但对紧靠边界内一行节点，,建立其差分方程时，还包括边界上各点处的值和边界外一行的结点处的值。,弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。如：节点13、14等。,应力函数差分方程,2.边界节点值的确定,边界节点的值由边界条件确定。由边界条件方程：,（b）,（b）,如图可见：,代入式（b），有：,上式进一步可写成：,（c）,对上式从A到B积分：,本章前面内容回顾,1.有限差分法（FDM）基本思想,要点：,差分,微分：,差分方程,微分方程。,（代数方程）,2.中心差分公式,（7-1）,（7-2）,（7-3）,（7-4）,基本差分公式,混合二阶导数的差分公式：,（7-5）,四阶导数的差分公式：,（7-6）,3.端点差分公式,向前差分公式,（7-7）,向后差分公式,（7-8）,4.稳定温度场的差分公式,（a）,热传导方程,热传导的差分方程,（7-11）,各类边界条件的引入,（1）第一类边界条件,由于边界点的T值已知，,因此，只需建立每,一个内节点的差分方程即可求解。,（2）第二类边界条件,（7-12）,（3）第三类边界条件,（7-14）,（4）第四类边界条件,同第一类边界条件,5.应力函数的差分方程,（7-24）,应力分量差分公式,（7-25）,应力函数差分方程,2.边界节点值的确定,边界节点的值由边界条件确定。由边界条件方程：,（b）,如图可见：,代入式（b），有：,上式进一步可写成：,（c）,对上式从A到B积分：,（d）,计算应力函数的全微分，有：,两边积分，有：,同理，有：,由式（c），有：,代回前式，有：,再利用：,（d）,（e）,（d）,（e）,由式（d）、（e）可见：当,已知时，即可由面力,分量X、Y求得：,由第三章理论可知，在应力函数上加上线性函数，不影响应力的值。,因而，可在应力函数上加上线性函数：,适当选取a、b、c的数值，总可使得：,于是式（d）、（e）可变为：,（7-26）,（7-27）,（7-28）,确定边界结点及其导数值的基本公式。,说明：,（1）式（7-26）（7-28）适用于单连体的情况。对于多连体，则只能选取某一个连续边界S上一点A为基准点，并取：,而应力函数在其它边界上不再有任意性。如：在另一连续边界S1上任选取一点A1，一般有：,而需有位移单值条件确定。,（2）,（7-26）,（7-27）,物理意义：边界上A、B两点间x方向面力之和。,物理意义：边界上A、B两点间y方向面力之和。,因而，差分解应用于多连体问题不方便。,（7-28）,物理意义：边界上A、B两点间面力对B点的矩。力矩的正负号由坐标系确定，图中以顺时针为正。,3.虚节点值的确定,可用应力函数在边界上的导数和边界内一行各结点的值表示。如：,由此可求得：,由此可求得：,（7-29）,4.不规则边界内节点、虚节点的值,基本思路：,将紧靠边界的节点1不作为独立的内节点，即并不将其1值作为独立的未知量，而把它用0来表示。,具体方法：,在B点附近，将应力函数沿x方向展为Taylor级数，并略去（xxB）的三次以上幂，有,有：,代入上式，有：,（f）,（g）,（h）,从中可求得：,（i）,（j）,显然，当=0时，有：,其中，第二式与前面虚节点值的计算公式相同。,5.差分法的求解步骤,（1）,在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：,然后，由公式：,（7-26）,（7-27）,（7-28）,计算边界上各结点处的应力函数值及其导数值；,（2）,应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的值用边界内相应节点的值表示；,（2）,应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的值用边界内相应节点的值表示；,（7-29）,注意：,对虚节点16：,对虚节点17：,（4）,由应力分量的差分表达式（7-24），求出各节点的应力等。,（3）,对边界内的每一个结点建立差分方程（7-25）：,并联立解出各结点的值；,应力函数差分法小结：,（1）应力函数差分方程,每一个内结点均可建立一方程。,（2）确定边界结点及其导数值的基本公式,（3）确定虚结点值的基本公式,（3）确定虚结点值的基本公式,（4）结点应力分量的差分公式,（5）结点应力函数及其导数值的物理意义,（7-26）,（7-27）,物理意义：边界上A、B两点间x方向面力之和。,物理意义：边界上A、B两点间y方向面力之和。,（7-28）,物理意义：边界上A、B两点间面力对B点的矩。,（6）不规则边界内节点、虚节点值,1,2,3,4,7,10,13,5,8,11,14,6,9,12,15,A,D,C,B,I,H,G,F,E,J,K,L,M,7-5应力函数的差分解的实例,1.问题,设一正方形的混凝土深梁（边长6h），上边界受有均布压力q，并下角点处的两反力维持平衡。试由应力函数的差分解法，求各节点的应力分量。,2.求解,由于对称性，如图建立坐标系，并取其一半分析。求解过程：,（1）适当划分差分网格、编节点号；,（2）选取基点A，并计算边界节点的及其导数值；,计算公式：,（3）计算边界外一行虚节点的值；,同理，得：,（4）对边界内节点建立差分方程；,公式：,（7-25）,对节点1：,式中：,为已知；,代入上式，整理得：,对节点15：,（d）,（e）,类似于式（d）、（e）可得到15个方程，其中含15个未知量，可求解得到（以qh2单位）：,（5）计算边界外一行虚节点的值（以qh2单位）；,上下虚节点：,左侧虚节点：,（6）计算应力值（中截面）；,同理，可求得：,应力分布如图。,与材料力学结果比较：,两者相差较大。,求解步骤:,课堂练习题：,用差分法计算图示基础梁的最大拉应力，并与材料力学公式给出的结果比较。,解：,（1）划分差分网格、编节点号；,A,D,C,B,G,F,E,（2）选取基点A，并计算边界节点的及其导数值；,0,2qh2,2qh2,2qh2,0,0,0,0,0,2qh,0,（3）计算边界外一行虚节点的值；,（4）对边界内结点建立差分方程；,结点1：,其中：,（a）,结点2：,其中：,代入得：,（b）,联立求解式（a）、（b）：,（5）计算边界外一行虚节点的值；,（6）计算各点的应力值；,材料力学结果：,本章前面内容回顾,1.有限差分法（FDM）基本思想,要点：,差分,微分：,差分方程,微分方程。,（1）中心差分公式,（7-1）,（7-2）,（7-3）,（7-4）,2.基本差分公式,一、差分法的基本理论,混合二阶导数的差分公式：,（7-5）,四阶导数的差分公式：,（2）端点差分公式,向前差分公式,向后差分公式,注：用于边界条件情形。,二、无源、稳定温度场的差分法,（a）,1.稳定温度场的热传导方程,2.稳定温度场的差分方程,（7-11）,（1）第一类边界条件,3.温度场边界条件的引入,（2）第二类边界条件,（7-17）,（3）第三类边界条件,（7-14）,（7-12）,（4）不规则边界节点的处理,三、应力函数的差分法,（1）应力函数差分方程,（2）确定边界结点及其导数值的基本公式,（3）确定虚结点值的基本公式,（3）确定虚结点值的基本公式,（4）不规则边界内节点、虚节点值,（5）结点应力分量的差分公式,四、温度应力问题的应力函数的差分法,（1）温度应力问题应力函数法的基本方程：,（e）,（f）,（d）,温度应力问题的边界条件,7-7位移的差分解,引言,应力差分方程：,边界节点及其导数值计算公式：,虚节点的值计算公式：,一、应力差分法及其局限性,应力分量的差分公式：,应力差分法的局限性：,（1）,不适用于具有位移边界条件的问题；,（2）,不适用于多连体的问题；,（3）,不适用于体力不为常量的问题。,这些局限性可由位移差分法解决。,2.平面问题按位移求解的基本方程,（2-20）,（2-21）,位移平衡微分方程：,应力边界条件：,位移边界条件：,位移差分法的优点：,（1）,适用于具有应力边界条件的问题，,（2）,适用于多连体的问题,（3）,适用于体力不为常量的问题；,（可用位移表示应力边界条件）；,（位移单值条件可直接由位移量给出）；,（4）,可无需设置虚节点,（微分方程中最高价导数仅为2阶）。,函数f位移u、v。,对节点0:,（7-2）,（7-4）,（7-5）,3.内节点的位移差分方程,对节点0:,将式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入第一式，整理有,两边同乘以h2，,并令(Px)0=X0h2，有,（7-40）,（位移形式的平衡微分方程）,（7-41）,将式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入第二式，整理有,其中：(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2。,用差分图式表示：,式（7-40）的差分图式,式（7-41）的差分图式,其中：,注：,对于只有位移边界条件的问题已可求解。,例：,四边固定的矩形薄板，其长度与宽度之比为1：2，密度为，为简单起见取泊松比=0。试用42的网格计算自重引起的位移与应力。,解：,由于对称性，有,只需求：,对a点,（x方向差分方程）：,对a点（y方向的差分方程）：,对b点（y方向的差分方程）：,（a）,（b）,解方程（a）、（b）得：,计算应力：,由几何方程和物理方程，得到,对边界结点：,（需用端点差分公式）,4.边界未知位移节点的差分方程,（1）某节点“邻域”的概念：,指环绕该节点的那两段、三段、四段网格的垂直平分线所围的区域，如：,角隅点1的邻域：,1abc所围区域；,边界点2的邻域：,abde所围区域；,内点4的邻域：,bdfg所围区域；,（2）差分计算的三点约定：,函数f位移u、v。,（a）,函数f沿网格线方向的导数，它在该网格线上各点（不包括节点）处的值取为常量，如：,（7-32）,（b）,函数f在垂直于网格线方向的导数，它在该网格线上各点（不包括节点）处的值取为按线性变化，如：,（7-33）,01线上a点y方向导数：,函数f在节点处的导数，仍由第1节中的差分公式给出，即；,对于02线上b点，有：,（7-34）,（7-35）,（c）,对不在网格线上的任一点c，沿x、y方向的导数值为：,（7-36）,将：,代入,（7-37）,将f在c点的导数值，用f在网格线上4个点的导数值表示，和f在4节点处的函数值表示。,（3）边界节点的差分方程,（3）边界节点的差分方程,8,a,b,c,其中：,为0点邻域上,所有外力的合力，即,由0点邻域微元体的平衡，有：,x方向：,将物理方程和几何方程代入，有：,当边界的法线沿x正方向时：,（7-42）,应用前面的差分公式，有：,将式（7-43）代入式（7-42），并整理得相应于u0的差分方程：,（7-43）,相应于u0的差分方程,其差分计算图式：,u0的差分计算图式,y方向：,将物理方程和几何方程代入，有：,（7-44）,其中：,将上式代入式（7-44），并整理得相应于v0的差分方程：,差分计算图式：,v0的差分方程的计算图式,相应于v0的差分方程,当边界的法线沿x负方向时：,u0的差分方程的计算图式：,v0的差分方程的计算图式：,当边界的法线沿y正方向时：,u0的差分方程的计算图式：,v0的差分方程的计算图式：,当边界的法线沿y负方向时：,u0的差分方程的计算图式：,v0的差分方程的计算图式：,两边界的交点：,结点0的邻域：,h/2h/2,由结点0的邻域微元的平衡,x方向：,利用物理方程及几何方程，有,将式中导数用差分表示，,将以上各式代入平衡方程：,得到结点0的u0的差分方程：,用的u0的差分图式表示：,类似地，可得结点0的v0的差分图式：,类似地，可得结点0的v0的差分图式：,7-8位移差分解的实例,一、内结点的差分图式：,u0的差分图式,(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2,v0的差分图式,二、边界非零未知位移结点的差分图式：,u0,v0,u0的差分方程的计算图式：,v0的差分方程的计算图式：,u0的差分方程的计算图式：,v0的差分方程的计算图式：,u0的差分方程的计算图式：,v0的差分方程的计算图式：,u0的差分图式：,v0的差分图式：,u0的差分图式：,v0的差分图式：,u0的差分图式：,v0的差分图式：,u0的差分图式：,v0的差分图式：,例:,四边固定的矩形薄板，其长度与宽度之比为1：2，密度为，为简单起见取泊松比=0。试用42的网格计算自重引起的位移与应力。,解:,划分网格，编写结点号；,由对称性，,独立的位移分量仅为：,ua、va、,vb、,uf,（ub=vf=vg=ug=0）,内结点a,ua：,内结点a：,va：,内结点b：,va：,边界结点f,u0的差分方程的计算图式：,va：,联立求解，得：,求结点应力：,求结点应力：,类似地，可求结点y方向的应力。,例:,图示矩形深梁，左右两边固定，上边受均布载荷q作用，试求其位移和应力。取泊松比=0.2;弹性模量为E。,解:,划分网格，编写结点号；,由对称性，,独