数学概念与数学思维的教学（正常版）.ppt

数学概念与数学思维的教学,一、概念教学应当注意的几个问题,概念对于数学的特殊重要性：1.“数学知识”的具体内涵：（1）事实性结论（公理定理）；（2）概念（原始概念派生概念）。2.“数学活动”的基本形式：（1）数学概念的生成、分析与组织；（2）问题的提出与解决。,1.应当清楚地指明概念的具体涵义,相关现象：教学中人们往往只是注意了如何引导学生通过自主探究去发现相关对象的性质，却忽视了还应帮助学生很好地认识与把握相关概念的准确涵义。,例1“长方形与正方形特性”的教学,教学实录1：学生预习：（1）做一个长方形。（2）比一比。发现长方形的特征性质是什么？（3）如何对此进行验证？（4）你还有哪些发现？教学实录2：教师在课堂上首先通过全班讨论指明了这样一点：我们主要应从角和边这样两个角度去从事平面图形性质的研究。,教学实录3,然后，在教师的指引下，全班同学又很快将精力集中到了“如何对相关猜想进行验证”之上，学生们表现出了很大的创造力，即是设想出了多种不同的检验方法，如折一折，用直尺和量角器量一量，等等，直至最终建立起了这样的共识：“对边相等”和“四个角都是直角”是长方形的特征性质。,教学实录4,就正方形特征性质的认识而言，教师所采取的也是基本相同的方法，即是集中于相关性质的发现和检验，包括通过实际动手（选4根小棒围成一个长方形或正方形等）帮助学生更好地认识长方形与正方形的特征性质。,问题与思考,长方形与正方形的特征性质真的是量出来的吗？在学生尚未清楚地知道究竟什么是“长方形”（和“正方形”）的情况下，就要求学生通过实际动手去发现两者的特征性质是否有点“本未倒置”？,与三角形的类比,在三角形的研究中，我们是如何获得“等腰三角形两腰相等”这一结论的？,可能的启示（1）,正如三角形的分类，我们在此或许也应更加重视四边形的分类，也即应当通过各种四边形的比较将学生的注意力逐步引向较为特殊的四边形，包括如何对这些特殊四边形（这不仅指长方形与正方形，也包括菱形、平行四边形等）作出明确的定义。,可能的启示（2）,正如由等腰三角形的定义我们即可直接引出“两腰相等”这样一个结论（与此不同，“等腰三角形两个底角相等”是证明的结果，即有一个发现和检验的过程）；我们也可由长方形和正方形的定义直接引出它们的某些特征性质。总之，在此需要的主要是动脑、而不是外部的操作或动手实践。,例2正方形的认识,教师：“什么是正方形？”学生：“方方正正就是正方形。”教师：“什么是方方正正？”学生：“就是四边相等。”教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”学生：“不是，因为它不正。”,教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？”学生：“不是！因为这个图形不方。”教师将学生回答得正确的结论写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。,例3“圆的认识”的教学,先前的评论：“圆的半径和直径的性质事实上也不能被看成动手画一画、折一折或量一量的直接结果，而是主要依赖于活动的内化，也即如何能够让学生借助经验展开数学的想象，从而清楚地认识到这一动作可以予以一般化的特征，如圆的半径都相等等等。”,两个相关的事实,（1）在现实世界中我们能否找到真正的圆？（2）圆有多少条半径？,具体的教学建议,我们是否也可通过“什么是圆？”的具体讨论帮助学生很好地掌握“圆的定义”，并由此而引出“圆的半径都相等”这样一个性质？,2.正确理解数学概念的作用,相关现象：教学中人们往往只是强调了概念在日常生活中的应用，却忽视了数学概念还有这样一个十分重要的作用，即是为我们深入地开展认识活动提供了必要的理论工具。,相关的论述（爱因斯坦）,“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”,两个十分重要的认识,（1）数学：科学的语言；（2）概念：“认识之网”上的结点。,例4“认识比”的教学,问题与思考：在事先已经学习了“除法”与“分数”的情况下，我们为什么还要专门引入“比”这样一个概念？相关现象：教材中并普遍地使用了如下的表格（或其它类似表格）以帮助学生弄清“比”、“除法”与“分数”这三个概念之间的联系和区别。但这究竟产生了怎样的效果？,关键：不同的研究视角,如果说这正是“除法”与“分数”的主要区别：分数的引入体现了由“过程”向“结果”的转变：在尚未完成计算（除法）的情况下我们也可用一个确定的数（分数）表示相关的结果；那么，这就是引入“比”的主要原因：人们在此所关注的主要是两个量之间的关系，而不十分在意如何能将此归结为一个确定的数。,相关的事实,现实中的确存在这样的情况，在此有必要用一个特定的数更为简洁地去表明两个量之间的比，如路程与时间的比，成本与利润的比，等等，但是，这恰恰更为清楚地表明：正是不同的研究视角（或需要）促使人们分别引入了“比”、“除法”与“分数”这样三个概念，包括其它一些附属性的概念，如“比值”等。,一点提醒,“比”的教学并可被看成小学数学教学渗透“函数观念”的很好契机。因为，这正是“函数观念”的核心，即是我们应当注意分析（变）量之间的关系，而且，所谓的“正比例函数”又正是最为简单的函数之一。,例5“三角形任意两边的和大于第三边”的教学,问题情境：小明上学时究竟是走中间的直路较近，还是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近？,相关现象：尽管从一开始被提问的学生就能立即对上述问题作出正确解答，大多数学生还能依据“两点间直线最短”对此作出必要的论证，任课教师却仍然坚持要求学生用实物（纸条或小棒）对上述结论进行检验，包括重新提出“三角形任意两边的和大于第三边”这样一个猜想。在课后的点评中，还有教师提出：“在此重要的并非上述的结论，而是要让学生体会发现的过程。”,问题与思考,什么是真正的探究？什么又是数学教学中提倡学生自主探究的主要意义？在学生几乎可以说已经完全掌握了相关知识的情况下，我们究竟又应如何去从事“三角形任意两边的和大于第三边”的教学？,具体建议,在此我们也应更加注重研究的视角，这就是指，从一开始就应将学生的注意力引向这样一个问题：我们应从哪些角度从事三角形的研究？并引导学生逐步建立起这样一个认识：我们主要应从角和边这样两个角度从事三角形的研究。,在形成了这样的共识以后，剩余的工作就十分简单了：在此需要的只是帮助学生回忆起“两点间直线最短”这样一个已有知识，并使用“三角形”的相关语言对此作出转译或重新表述。,相关的经验（范午英，小学教学，2013年第12期）,“我在黑板上画出两个点B、C，并问：同学们，从点B到点C的最短距离怎么画？学生画出了一条线段。我顺势画了一条折线，问道：如果走其它路线，还有更短的吗？为什么？“两个点之间走直线是最短的，其他的路线多多少少拐弯了。学生说。,“我在折线的拐点处标出字母A：这就是三角形ABC，如果不看A点，三角形就可以看成是B、C之间的一条线段和一条折线。你有什么发现？,B,C,B,A,C,“折线一定比线段长，即便是微微撑起也是折线。“BC一定是最短的，BA+AC一定比BC长。“换一个角度看，任何一个三角形都可以看成是由两点之间的一条线段和一条折线组成的。“不费吹灰之力，就得到了下面的结论：任意三角形的两边之和一定大于第三边。”,例6“认识方程”的教学,问题与思考：在“认识方程”的教学中应当如何能够帮助学生很好地认识“方程”的作用?相关事实：由于“认识方程”是学生首次正式接触到了“方程”这样一个概念，因此，在此时就期望学生清楚地认识方程方法相对于算术方法的优越性应当说完全不切实际。,具体建议,在此我们也应更加突出“方程”所体现的研究视角：如果说先前的学习主要集中于如何能够通过具体计算去求得相应的未知数（“过程操作性观念”），那么，这就是“方程”所体现的特殊视角：我们在此已将分析的着眼点转向了各个数量之间的等量关系（“结构性观念”）。,关于“=”的具体考察,在算术中我们主要是从“操作（过程）的观点”看待“=”的：等号的左边表明我们应当实施哪些计算，得出的结果则应写在右边；也正因此，等式的两边就是不对称的，即有明确的方向性。与此不同，方程中对于“=”的理解则体现了这样一种观念：这主要代表了一种关系：等量关系，其本身也不具有任何的方向性。,上述的观念对立并可被看成代数思维与算术思维的主要区别之一。也正因此，“方程”的教学就可被看成为我们在小学阶段初步渗透“代数思想”提供了重要契机。,具体的教学建议（1）,“认识方程”的教学应当突出“天平”这样一个比喻。具体地说，我们可以通过天平在日常生活中的应用帮助学生初步地领会方程方法的本质，包括对照天平称重时的不同情况（等与不等）对相应的算式作出分类，从而引入方程这样一个概念。,具体的教学建议（2）,在教学中我们并应有意识地引入一些“非标准变式”，从而帮助学生很好地实现由“过程（操作）性观念”向“结构性观念”的重要转变。,具体地说，在给出了“方程”的定义以后，教师往往会引入如下练习以帮助学生掌握这一定义，也即要求学生具体地去判断以下一些式子是否为方程：6+x=14,x3=20,60-48=12,8+x,y-28=35,5y+320,相应的“非标准变式”,一些新的实例：6=14-3x，6+x=14-7x，25+x=y-28，等等。我们还应用不同的字母、包括一些更为复杂的符号表达式或特殊符号去替代经常使用的字母x。如将4x+7=35变形为4y+7=35，以及进一步变形为4（2r+1）+7=35，4*+7=35，等等，,另一值得思考的问题,在“方程”定义的两个要素之中，究竟何者更加重要？,3.注意概念间的联系与区别,应当的思考：我们为什么应当高度重视概念间的联系与区别？理由之一：这正是实现“理解学习”的关键。,相关的论述（J.Hiebert，（3）努力做到“小中见大”，即应以各个具体课例作为背景并从更为一般的角度进行分析思考，从而引出具有更大普遍性的问题和结论。这也正是“教学实践的理论性反思”的基本意义。,例17“解决问题的策略画图”的教学（2）,问题1：小明和小芳同时从两地沿一条公路相对走来。小明每分钟走70米，小芳每分钟走65米，经过6分钟两人相遇。两地相距多少米？问题2：小华和小丽同时从同一地点出发。小华向东走，每分钟走60米；小丽向西走，每分钟走55米，经过3分钟，两人相距多少米？,问题3：小刚和小星同时从学校出发去少年宫。小刚每分钟走64米，小星每分钟走60米。经过6分钟，小刚到了少年宫，这时小星距少年宫还有多少米？,课例实录,教师在上课前首先安排学生对上述三个问题进行了“小研究”，在发给学生的“研究表”中教师并特别强调了这样一点：“你能先画图，再解答下面的问题吗？”进而，在学生在实际从事了上述三个问题的研究之后，教师又要求他们进一步去思考：“你觉得画图对于解决问题有什么帮助？”,问题与思考,所说的“小研究”在此究竟起到了什么样的作用，特别是，这是否真正起到了启发和导引的作用，还是一种“包办代替”？我们究竟又应如何去理解所谓的“解题策略”和“问题解决”？,相关的认识,“问题解决”并非是指解题者无需任何认真努力就可顺利地求解所面临的问题，而是一种创造性劳动，也即“要去找出适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标”。,这又是“解题策略”的一个基本定位：如果你对于如何解题已经有了一定想法，就完全不用去理睬任何一种“解题策略”，而只需按照自己的想法直接尝试着去做；但如果你想不到任何一种办法，所说的“解题策略”就可能给你一定启示。,启发性与“硬性的规范”,与所说的启发性相对照，在上述的情况下所谓的“解题策略”事实上已经变成了学生必须严格遵循的“硬性规范”，“问题解决”也已演变成了一种常规性的练习，即是如何能用教师（教材）指定的方法去求解教师（教材）给出的问题，包括按照教师（教材）的提示对相应的“解题策略”作出理解。,具体的思考,如果我们不是“硬性地”要求学生用画图的方法去进行求解，面对上述的问题（1），究竟有多少学生会想到用这样一个策略？问题1：小明和小芳同时从两地沿一条公路相对走来。小明每分钟走70米，小芳每分钟走65米，经过6分钟两人相遇。两地相距多少米？,后一结论对于上述的问题（2）恐怕也是成立的，这就是指，学生在此之所以使用“画图”这样一个方法，主要也是“服从”的结果。问题2：小华和小丽同时从同一地点出发。小华向东走，每分钟走60米；小丽向西走，每分钟走55米，经过3分钟，两人相距多少米？,更为一般的思考,问题（1）：我们如何才能将“先学后教”这样一种教学方式很好地应用于此类内容的教学？特别是，“导学案”在此究竟应当发挥怎样的作用？问题（2）：与当前普遍采用的“小组讨论”、“全班交流”等方法相比较，我们又如何能够通过自己的讲述使学生的认识得到进一步的深化？,具体建议,就“画图”这一策略的掌握而言，我们不能期望通过由较简单问题向较复杂的问题的过渡，就能自然而然地实现所说的目标；而是应当更加重视如何能够随着学习的开展对学生的注意力作出必要的引导。关键：教学中我们究竟应当如何去处理这样两个问题之间的关系：（1）为什么要“画图”？（2）我们又应如何去“画图”？,相关的认识,尽管这是两个不同的问题，但我们又应清楚地看到两者之间的联系，特别是，就只有通过后一个问题的研究，我们才能更为深入地认识“画图”的作用，包括什么时候才真正需要画图。,例如，就上述的问题1而言，为了清楚地表明小明和小芳每个人都走了6分钟，画图时是否应当要求学生具体地画出6个相等的间隔（由于是两人相对而行，事实上就需画26个小的间隔）？另外，我们在画图时是否又应特别强调“小明比小芳走得快”这样一个事实，并在图中清楚地加以反映？等等。,必要的变化,如果问题1中的相遇时间是20分钟或100分钟，我们又应如何去求解，特别是，这时是否仍然需要具体地画出220（或2100）个相等的小间隔？再则，如果小明和小芳的行进速度分别是每分钟90米和65米，这时又应如何去解题，特别是，我们在此又是否需要对原来的图形作出新的改变或调整？等等。,结论,这正是教师在这一内容的教学中所应发挥的一个重要作用，即是应当随着学习的开展将学生的注意力由前一问题逐步引向第二个问题，因为，后者事实上即可被看成前者的必要深化与细化。相关的认识：“画图”不用太复杂、精准；只要能够很好地体现题意、特别是问题中的各个主要因素（已知数和未知数，两者之间的等量关系）就可以了。,2.教学方法、教学模式与教学能力,基本认识：相对于教学方法与教学模式的学习与应用，我们应当更加重视自身教学能力的提高。相关的工作：数学教师的“三项基本功”。,例关于“模式潮”的若干思考,一个新的发展趋势：“外面的世界，模式潮汹涌澎湃。”“现在，教育教学都讲究个模式。有模式，是学校改革成熟的标志，更是教师成名的旗帜。许多人对模式顶礼膜拜，期盼把别人的玫瑰移栽到自己花园里。”（人民教育，2012年第9、12期）,应有的思考,由教学方法的改革转向教学模式的研究能否被看成真正的进步？我们又应如何去看待所说的“模式潮”，特别是各个在当前最为流行的教学模式？我们并应如何去促进教学模式研究的深入发展？,一线教师的困惑,“时下，各地课改轰轰烈烈，高效课堂、智慧课堂、卓越课堂、魅力课堂、和美课堂绚丽追风，模式、范式眼花缭乱。一线教师困惑、苦闷，越发感觉自己不会上课。”（何绪铜，“品味全国大赛，悟辨课改方向全国第十一届深化小学数学教学改革观摩交流会侧记”，小学数学教育，2014年第1期）,认识的重要进步,“的确，没有可以操作的模式，再好的思想、理论都无法实现，但模式不能成为束缚手脚的镣铐。”“模式！模式！是解放生命还是禁锢生命？”,更为深入的分析：聚焦“先学后教”,无论是邱学华的“尝试教学”、卢仲衡的“自学辅导教学实验”、段力佩的“读读、议议、练练、讲讲”，顾冷沅的“青埔实验”，李庾南的“自学、议论、引导”教学法，都有这样三个共同点：“一是增加了学生（自主）学习的环节；二是教学以学生的学习为基础（教与学的顺序发生变化）。三是增加了学生议论、讨论的环节。”（余慧娟，人民教育，2011年第13-14期）,一些具体的思考,我们是否应当特别重视“先学后教”这样一个顺序，并在教学中严格地加以遵循？为了确保“以学为主”，我们又是否应对每一堂课中教师的讲课时间做出硬性规定，即如不能超过10分钟或15分钟等？,为了切实强化“学生议论”这样一个环节，对教室中课桌的排列方式我们也应做必要的调整，也即应当由常见的“一行行”变为“之字形”：座位摆在教室中间，教室四周都是黑板，。,有益的回顾,（1）课堂上学生的座位究竟应当排成传统的一行行，还是一个个小圈？（2）课堂上的“问题”究竟应当来自学生，还是也可由“教师适当地引导”？结论：相对于课堂教学的各种“显性”成分而言，我们应当更加重视深层次的思考。,更为深入的思考,以下的说法是否真有道理：“凡是学生能够学会的，教师就不应教？”问题的细化：（1）“学生自主学习（探究）”是否也有共一定的局限性？（2）在强调“学生自主学习”的同时，教师又应如何去发挥作用？,另外一些应当深入研究的问题,我们应当如何去处理学生“课前学习（研究）”与“努力减轻学生负担”这两者之间的矛盾？要求学生“自主阅读”如何能够防止由“讲灌”变成“书灌”？“导学案”又如何能够防止成为束缚学生思想的桎梏？,“尝试教学”是否应当特别强调“尝试与成功”，我们并是否应当对此与“尝试与错误”作出明确的区分？我们又如何才能更好地发挥“学生议论、讨论”的作用？,结论,与教学方法一样，任何一种教学模式也必定有其一定的适用范围和局限性。我们