高等数学上册第三章（课堂PPT）

第三章微分中值定理与导数的应用,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,1,应注意的问题如果定理的三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立,罗尔定理如果函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在区间端点处的函数值相等即f(a)f(b)那么在(a,b)内至少有一点(ab)使得f()0,下页,2,例1不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数说明方程f(x)0有几个实根并指出它们所在的区间,f(1)f(2)f(3)0f(x)在1223上满足罗尔定理的三个条件在(12)内至少存在一点1使f(1)01是f(x)0的一个实根在(23)内至少存在一点2使f(2)02也是f(x)0的一个实根f(x)是二次多项式f(x)0只能有两个实根分别在区间(12)及(23)内,解,首页,3,拉格朗日中值定理,如果函数f(x)满足(1)在闭区间ab上连续(2)在开区间(ab)内可导那么在(ab)内至少有一点(ab)使得f(b)f(a)f()(ba),直线AB的斜率,下页,4,定理的几何意义,三、柯西中值定理,柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间ab上连续(2)在开区间(ab)内可导(3)对任一x(ab)F(x)0那么在(ab)内至少有一点使得,结束,5,3.2洛必达法则,未定式,6,说明把定理中的“xa”换成“x”把条件(2)换成“当|x|N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0”结论仍然成立,定理1(洛必达法则)如果函数f(x)及g(x)满足(1)当xa时函数f(x)及g(x)都趋于零(或无穷)(2)在点a的某去心邻域内f(x)及g(x)都存在且g(x)0,下页,7,“零比零”型未定式的定值法,解,下页,8,“零比零”型未定式的定值法,解,下页,9,“无穷比无穷”型未定式的定值法,解,下页,10,其它类型未定式的定值法,未定式0、00、1、0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式,解,下页,11,3.4函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,12,一、函数单调性的判定法,函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？,f(x)0,f(x)0则f(x)在ab上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0所以函数yxsinx在02p上的单调增加,下页,15,因为在(0)内y0所以函数yexx1在0)上单调增加,函数yexx1的定义域为()yex1,例2讨论函数yexx1的单调性,解,定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在ab上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0时y0,所以函数在(0上单调减少,因为x0所以f(x)在1)上f(x)单调增加,证明,因此当x1时f(x)f(1)=0即,首页,20,二、曲线的凹凸性与拐点,函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,下页,21,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在ab上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上的图形是凹的若在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上的图形是凸的,例7判断曲线ylnx的凹凸性,因为在函数ylnx的定义域(0)内y0则f(x)在ab上的图形是凹的若在(ab)内f(x)0则f(x)在ab上的图形是凸的,下页,23,拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,拐点,讨论如何确定曲线yf(x)的拐点？如果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？,提示如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.在拐点(x0,f(x0)处f(x0)=0或f(x0)不存在.只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.,下页,24,例9求曲线y2x33x22x14的拐点,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,y6x26x12,解,下页,25,下页,例10求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间,列表判断,在区间(0和2/3)上曲线是凹的;在区间02/3上曲线是凸的点(01)和(2/311/27)是曲线的拐点,0,0,1,11/27,函数y3x44x31的定义域为(),解,下页,26,内容小结,1.可导函数单调性判别,在I上单调递增,在I上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,27,3.5函数的极值与最大最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,28,定义(极值与极值点),一、函数的极值及其求法,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.,观察与思考观察极值与切线的关系.,下页,29,设函数f(x)在x0处连续且在(ax0)(x0b)内可导(1)如果在(ax0)内f(x)0在(x0b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(ax0)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(ax0)及(x0b)内f(x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值,定理2(第一充分条件),下页,30,确定极值点和极值的步骤,(1)求出导数f(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f(x)的符号;(4)确定出函数的所有极值点和极值.,设函数f(x)在x0处连续且在(ax0)(x0b)内可导(1)如果在(ax0)内f(x)0在(x0b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(ax0)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(ax0)及(x0b)内f(x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值,定理2(第一充分条件),下页,31,例：求函数,的极值。,32,例2求函数f(x)(x21)31的极值,解,f(x)6x(x21)2,令f(x)0,求得驻点x11x20x31,f(x)6(x21)(5x21),因为f(0)60,所以f(x)在x0处取得极小值,极小值为f(0)0,因为f(1)f(1)0所以用定理3无法判别,因为在1的左右邻域内f(x)0,所以f(x)在1处没有极值,同理f(x)在1处也没有极值,