等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定,共同特点,合作学习,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分BAC,交BC于D.,(1)若将ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像是什么?,(2)找出图中的全等三角形以及所有相等的线段和相等的角.你的依据是什么?,所得的像是ACD,ABDACD,相等的线段:,AB=AC,BD=CD,相等的角:,B=C,BAD=CAD,ADB=ADC.,依据:,轴对称变换的性质轴对称变换不改变图形的形状和大小.,1.B=C,2.BD=CD,即AD为底边上的中线,3.ADBC,即AD为底边上的高,问题:由已知AB=AC得结论B=C用文字如何表述？,等腰三角形的两个底角相等.,已知:AB=AC,可以说成“在同一个三角形中,等边对等角”,结论:,BAD=CAD(AD是顶角平分线).,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.,简称“等腰三角形三线合一”,如果已知AB=AC,ADBC(AD是底边上的高).那么有什么结论?,如果已知AB=AC,BD=CD(AD是底边上的中线).那么有什么结论?,等腰三角形的性质:,顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,BD=CD(AD是底边上的中线),BAD=CAD(AD是顶角平分线).,ADBC(AD是底边上的高),BAD=CAD(AD是顶角平分线),（1）AB=AC，ADBC，_=_，_=_,（2）AB=AC，AD是中线，_，_=_,（3）AB=AC，AD是角平分线，_，_=_,BADCAD,BDCD,ADBC,ADBC,BADCAD,BDCD,等腰三角形三线合一性质应用的几何语言，如图所示，在ABC中,课本引例：,将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？,D,A,B,性质运用一：生活实际,探究:如图,已知ABC=20,BD=DE=EF=FG.ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线有几条?若ABC=10呢?试一试,并说明理由.,做一做,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿实线剪开,再把它展开,得到的ABC是等腰三角形吗?,(3),等腰三角形两腰上的中线相等,(4),等腰三角形两底角平分线相等,(5),等腰三角形两腰上的高相等,利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形中哪些线段相等?,DE、DF分别是AB、AC边上的中线,D,DE、DF分别是ADB、ADC的角平分线,(1),A,B,D,C,E,AD上任意一点与B、C的连接线,(2),讨论,等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.,等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_.,等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_.,顶角+2底角=180,顶角=1802底角,底角=（180顶角）2,0顶角1800底角90,结论:在等腰三角形中,40,35，35,70,40或55,55,例,如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,B=30，求1和ADC的度数.,A,B,C,D,1,2,另解:,因为等腰三角形的“三线合一”，所以AD是ABC的顶角平分线、底边上的高，即,1=2，ADC=90,因为BAC=180-30-30=,120,所以1=,2,BAC,=,120,2,=60.,答:1为60,ADC为90.,30,等腰三角形的腰长等于9,另一边长等于4,那么周长=_.2.等腰三角形的腰长等于另一边的2倍,周长为30,那么它的各边长分别为_.3.等腰三角形的一边长比腰长多2cm,周长等于29cm,则三边长分别为_.,填空题:,22,12，12，6.,9，9，11.,4.正三角形的边长等于8,则周长等于_.5.等边三角形的周长等于72cm,则边长=_.6.等腰三角形若两边长为3和7,则其周长为_.7.在等腰三角形中,一个内角为30,则另外两个内角为_.,填空题:,24,24,17,75,75或,或30,120,一、复习：,1、等腰三角形的性质定理是什么？,等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：等边对等角）,2、这个定理的逆命题是什么？,如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。,3、这个命题正确吗？你能证明吗？,自学指导：,阅读课本P7374内容，思考并回答下列问题：,等腰三角形的判定定理与性质定理有何不同？等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是否一样？两个推论是怎样得到的？你有什么新的发现吗？8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例题类似的练习。,已知：ABC中，B=C,求证：AB=AC,证明：,作BAC的平分线AD,在BAD和CAD中，,1=2，B=C，AD=AD,BADCAD（AAS）,AB=AC（全等三角形的对应边相等）,1,2,推论1证明,已知：如图，ABC中，A=B=C求证：AB=AC=BC,证明：在ABC中A=B（已知）BC=CA（等角对等边）同理CA=ABBC=CA=AB,问题：如果一个等腰三角形中有一个角是60，那么这个三角形是什么三角形？,推论2证明,已知：ABC中，AB=AC，A=600。求证：AB=AC=BC,证明：ABC中AB=AC，B=C（等边对等角）A=600B=C=600AB=AC=BC,已知：ABC中，AB=AC，B=600。求证：AB=AC=BC,证明：ABC中AB=AC，B=C（等边对等角）B=600C=600A=600AB=AC=BC,例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。,证明：,ADBC，1=B（两直线平行，同位角相等），2=C（两直线平行，内错角相等）。1=2，B=C，AB=AC（等边对等角）。,例3在ABC中，已知A40，B70，判断ABC是什么三角形，为什么?,解：ABC180（三角形内角和等于180）C180AB（等式的性质）180407070，CBABC是等腰三角形（等角对等边）,三、等腰三角形的识别方法（应用）：,40,70,?,课本P99页“做一做”,四、特殊的等腰三角形,ABC,ACD,BCD,45,45,45,45,等边,四、特殊的等腰三角形,1.三个角都是60的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗？,2.有两个角是60的三角形是等边三角形吗？,3.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形吗？,有三个角相等的三角形是等边三角形。,思考：,结论：,P99页练习1.如图，在等腰三角形ABC中两底角的平分线BE和CD相交于O点，那么OBC是什么三角形？为什么？,六、要做到熟练运用知识解决问题,BE平分ABC，CD平分ACB(已知),又AD=AC(已知),ABC=ACB（等边对等角）,OBCOCB,OBOC（等角对等边）,ABC是等腰三角形.,OBC=ABC,OCB=ACB(角平分线定义),则ABC=ACB,2.如图，在ABC中，DE|BC,A=70,C=55,则ADE是什么三角形？为什么？,六、要做到熟练运用知识解决问题,70,55,?,?,解,六、要做到熟练运用知识解决问题,2.若等腰三角形的一个内角是45,则它的顶角为90(),1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8,则它的周长为.,21或18,总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!,1、如果等腰三角形的一个外角为100，则这个等腰三角形的顶角为。,2、如图，在三角形ABC中，BC=10，AD=BD，若三角形ACD的周长为18，则AC长为。,课堂检测,例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。,证明：AB=ACABC=ACB（等边对等角）BDAC于D，CEAB于EBEC=CDB=901+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余）1=2（等角的余角相等）BM=CM（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例3已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.求证：AC=BD.,证明：BD=DC，B=15DCB=B=15（等角对等边）ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC=DCAC=BD,例4.如图，已知ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求A的度数.,分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。,解：设A=x，EBD=y，C=zAB=ACABC=C=zBD=BCC=BDC=zBE=DEEBD=EDB=90AD=DEA=AED=x又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A+ABC+ACB=180（三角形内角和为180）解得x=45即：A=45,例5.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形.,分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMDCME得到结果。,证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中点CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角对等边）在BDE和CEM中BDMCEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形,例6.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE，求证：DEF也是等边三角形.,证明：ABC是等边三角形AC=BC，A=CCE=BDBCBD=ACCECD=AE在AEF和CDE中AEFCDE（SAS）EF=DE同理可证EF=DFEF=DE=DFDEF是等边三角形,说明：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。,例7如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G求证：DG=EG,思路因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。,证明：过D作DHAE，交BC于HAB=ACDB=DH又DB=CEDH=CE又DG=EG.,说明本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明DBGEFG，同学们不妨试一试。,例8如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q.求证：BP=2PQ,思路在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30,证明AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ,说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,在等腰直角三角形中,折出CAB的平分线AE,交BC边于点E.C点在AB边上的落点为D,连结DE.,2.若CE=1,则DE=_.,3.你还能找出哪些相等的线段吗?,4.若AB=6,则DEB的周长等于多少?,1.DEAB吗?,1,1,DB=_.,即：CE=DE=DB,AD=AC=BC,C,A,B,O,等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O,过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E.则:,3.若AC=10,则CEF的周长为多少?,2.AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？,1.图中有几个等腰三角形?,AF+EB=FE,相等角之间的转化,相等线段之间的转化,如图（二）当AC=12,BC=8.求CFE的周长?,解:因为OA平分CAB.所以FAO=OAB.又因为EFAB.所以FOA=OAB.所以FAO=FOA即:AF=OF,所以AC=AF+FC=OF+FC.同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.所以CFE的周长:=OF+FC+OE+EC=AC+BC=12+8=20,如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰三角形！,36,A,B,C,请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！,在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的其中两顶点构成等腰三角形！,B,A,C,50,110,20,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,（分类讨论）,例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。,证明：AB=ACABC=ACB（等边对等角）BDAC于D，CEAB于EBEC=CDB=901+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余）1=2（等角的余角相等）BM=CM（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例3已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.求证：AC=BD.,证明：BD=DC，B=15DCB=B=15（等角对等边）ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC=DCAC=BD,例4.如图，已知ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求A的度数.,分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。,解：设A=x，EBD=y，C=zAB=ACABC=C=zBD=BCC=BDC=zBE=DEEBD=EDB=90AD=DEA=AED=x又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A+ABC+ACB=180（三角形内角和为180）解得x=45即：A=45,例5.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形.,分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMDCME得到结果。,证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中点CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角对等边）在BDE和CEM中BDMCEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形,在等腰直角三角形中,折出CAB的平分线AE,交BC边于点E.C点在AB边上的落点为D,连结DE.,2.若CE=1,则DE=_.,3.你还能找出哪些相等的线段吗?,4.若AB=6,则DEB的周长等于多少?,1.DEAB吗?,1,1,DB=_.,即：CE=DE=DB,AD=AC=BC,应用举例一,例1.在ABC中,已知A=40,B=70,判断ABC是什么三角形,为什么?,答:ABC是等腰三角形。,理由：,在ABC中，,C=180AB,（三角形内角和等于180）,=1804070,=70,B=C=70,AB=AC,（等角对等边）,即ABC是等腰三角形,巩固练习一,口答：,1.在ABC中,有两个内角分别是100和40,试判断ABC是什么三角形?,2.“有两个底角相等的三角形是等腰三角形”,这句话对吗?,答：ABC是等腰三角形。,答：这句话是错的。,因为在还没有判定是等腰三角形前不能讲“底角”。,巩固练习二,72,36,ABC，,ABD，,BDC,巩固练习二,ACB、,ADC、,BDC,3,应用举例二,答:ABC是等腰三角形。,理由：,AD平分EAC,1=2,（角平分线定义）,ADBC,1=B,（两直线平行，同位角相等）,2=C,（两直线平行，内错角相等）,B=C,AB=AC,（等角对等边）,即ABC是等腰三角形。,巩固练习三,答:ABD是等腰三角形.,理由:,BD平分ABC,1=2,(角平分线定义),ADBC,2=3,(两直线平行,内错角相等),1=3,AB=AD,(等角对等边),即ABD是等腰三角形.,巩固练习三,答：OBC是等腰三角形。,理由：,ABC中，AB=AC,ABC=ACB,（等边对等角）,BE平